Un subconjunto de un espacio métrico es cerrado si su intersección con todo subconjunto compacto es cerrada

Question

Quiero demostrar que un subconjunto de un espacio métrico $X$ es cerrado si su intersección con todo subconjunto compacto de $X$ está cerrado

Answer 1

Dejemos que $(X,d)$ sea un espacio métrico y $Y \subset X$ sea tal que $Y \cap F$ es cerrado para cualquier conjunto cerrado $F$ .

Dejemos que $(x_n)$ sea una secuencia en $Y$ convergiendo a algún $x \in X$ . Entonces $A=\{x_n: n \geq 0\} \cup \{x\}$ es compacto. Por supuesto, $A \cap Y$ está cerrado, por lo que $x \in \overline{A \cap Y} =A \cap Y \subset Y$ . Deduce que $Y$ está cerrado.

Demostrando que si $Y$ es cerrado, entonces su intersección con todo subconjunto compacto de $X$ es cerrado es una consecuencia del siguiente hecho (en espacios métricos): un subconjunto cerrado de un conjunto compacto es compacto, por lo tanto cerrado en $X$ .

Answer 2

Si $F\subset{X}$ está cerrado y $C\subset{X}$ es compacto, entonces $C$ también es cerrado (compacto en Hausdorff es cerrado), y por lo tanto la intersección $F\cap{C}$ también está cerrado.