Ejemplos de conjuntos cerrados con interior vacío

Question

¿Podría tener un ejemplo de conjuntos cerrados con interior vacío? Cualquier espacio topológico. Todo vale.

Observación: Esto no es una tarea. Estoy en medio de probar el espacio de $n$ -polinomios de grado en $(C[0,1], \lVert \cdot \rVert_\infty)$ es escaso. El interior vacío de este conjunto (si estoy en lo cierto...) es el remate y sólo quiero entender un poco más la naturaleza de los conjuntos cerrados con interior vacío.

Answer 1

He aquí algunos ejemplos intuitivos

• Todo conjunto único $\{p\}$
• El círculo $\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 = r^2\}$ .
• La línea $y=mx + b$

Las dos últimas pueden generalizarse, por supuesto.

Edición: Aquí hay un poco más de intuición: el plano en $\mathbb{R^3}$

Toma algún punto que no esté en el plano. ¿Ves cómo puedes encontrar una bola abierta alrededor de él que no intersecte el plano? Piensa que el plano es "delgado", si quieres. Esto te dice que su complemento es abierto, por lo que el plano es cerrado. Y por la "delgadez", ningún punto del plano tiene una bola abierta a su alrededor contenida en el plano.

Así que ahora tenemos un punto, una línea y un plano como conjuntos densos cerrados en ninguna parte en $\mathbb{R}, \mathbb{R^2}, \mathbb{R^3}$ respectivamente. ¿Se puede intentar generalizar para encontrar un conjunto cerrado con interior vacío en $\mathbb{R^n}$ ?

Answer 2

Considere cada conjunto finito en la topología euclidiana en $\mathbb{R}$

También $\mathbb{Z}$ está cerrado porque $\mathbb{R}$ \ $\mathbb{Z}=\bigcup_{n \in \mathbb{Z}}(n,n+1)$

O el conjunto $A= \{1/n | n \in \mathbb{N}\} \cup \{0\}$

O el conjunto de Cantor, que no contiene un intervalo pero es cerrado como intersección de conjuntos cerrados.

O cada línea y curva en el plano.

Todos estos conjuntos, por supuesto, con la topología euclidiana.

También los conjuntos finitos en $\mathbb{N}$ con respecto a la topología cofinita.

Answer 3

Me sorprende que nadie haya propuesto esto: $\emptyset$ .

Answer 4

Considere en $\mathbb{R}^2$ la línea recta $\{(x,x) \in \mathbb{R}^2 \; | \; x \in \mathbb{R}\}$ . Este conjunto es cerrado ya que su complemento es abierto, pero no contiene ninguna bola en la topología euclidiana de $\mathbb{R}^2$ .

Answer 5

Considere $X=\{a,b,c\}$ y $\tau=\{X,\varnothing,\{a\}\}$ y que $A=\{b,c\}$ . Entonces $A$ está cerrado pero $int(A)=\varnothing$