Galois grupo de $P(X)=X^6−4X^3+2$

Question

Me gustaría encontrar el grupo de Galois de $P(X)=X^6−4X^3+2$.

Tengo que $(2+\sqrt{2})^{1/3}$ es una raíz de $P$, denota $\alpha$. Por Eisenstein $P(X)$ es irreducible sobre $\Bbb{Q}$ $[\Bbb{Q}(\alpha):\Bbb{Q}]=6.$

Si dejamos $\beta:=(2-\sqrt{2})^{1/3}$, entonces la raíz de $P(X)$ $\alpha,\omega\alpha,\omega^2\alpha,\beta,\omega\beta,\omega^2\beta$ donde $\omega$ no es trivial $3-$raíz de la unidad; a continuación, $\Bbb{Q(\alpha,\beta,\omega)}$ es la división de campo de la $P(X)$, señaló $E.$ parece que $[E:\Bbb{Q}]=36.$

No sabe cómo puedo encontrar el grupo de Galois ?

Answer 1

Voy a ser el uso de Dedekind (IIRC) teorema sobre el ciclo de las estructuras en el grupo de Galois de la factorización de un modulo prime $p$ donde $p$ no es un factor discriminante. Ver Qiaochu post para una explicación de este teorema.

Esta vez $p=7$ es la más reveladora, porque modulo $7$ tenemos la factorización $$p(x)=(x+1)(x+2)(x+4)(x^3+2).$$ Una manera de ver esto es observar que el modulo $7$ el residuo de la clase de $3$ puede servir como $\sqrt2$. Por lo tanto, $2+\sqrt2\equiv5$ es un no-cubo modulo $7$, pero $2-\sqrt2\equiv-1$ tiene tres modular cúbicos raíces ($-1,-2,-4$).

Permítanos número de los seis ceros como $a_1=\alpha$, $a_2=\omega\alpha$, $a_3=\omega^2\alpha$, $a_4=\beta$, $a_5=\omega\beta$, $a_6=\omega^2\beta$. Podemos entonces identificar a $G=Gal(E/\Bbb{Q})$ como un subgrupo de $S_6$. La aplicación del teorema de Dedekind a la anterior modulo $7$ datos revela que el $\tau=(123)\in G$.

Debido a $\sqrt2\in E$, hay automorfismos en $G$ que exchange $\pm\sqrt2$. Deje $\sigma$ ser uno de esos. A continuación, $\sigma\tau\sigma^{-1}$ debe mantener la raíz cubica de $2+\sqrt2$ correcciones, y permutar las raíces cúbicas de $2-\sqrt2$ como un 3-ciclo. La sustitución de $\tau$ $\tau^2$ si es necesario, se puede concluir que el $\delta=(456)\in G$ también.

Debido a $\sqrt2,\omega\in E$, sabemos que $4\mid [E:\Bbb{Q}$. Como los automorfismos $\delta$ $\tau$ generar un subgrupo de orden $9$, podemos concluir que $4\cdot9=36\mid [E:\Bbb{Q}]$.

Por otro lado $\alpha$ $\beta$ son en la mayoría de los cúbico $\Bbb{Q}(\sqrt2,\omega)$, lo $[E:\Bbb{Q}]\le36$. Por lo tanto,$[E:\Bbb{Q}]=|G|=36$.

El complejo conjugación da la automorphism $\gamma=(23)(56)\in G$.

Un elemento $\phi\in G$ está totalmente determinado, si conocemos $\phi(\alpha),\phi(\beta)$$\phi(\omega)$. Hay seis alternativas para $\phi(\alpha)$ y dos alternativas para $\phi(\omega)$. La elección de $\phi(\alpha)$ únicamente determina $\phi(\alpha^3)=\phi(2+\sqrt2)=2\pm\sqrt2$, en otras palabras $\phi(\alpha)$ determina la $\phi(\sqrt2)$ únicamente. Debido a $(\alpha\beta)^3=2$ conocer $\phi(\alpha^3)$ determina la $\phi(\beta^3)$ únicamente. Teniendo esto en mente, tenemos tres opciones para $\phi(\beta)$ a cada una selección de $\phi(\alpha)$. Como $|G|=36$ todo el así permitió $6\cdot2\cdot3=36$ combinaciones de $\phi(\alpha),\phi(\omega)$ $\phi(\beta)$ se producen (de forma independiente el uno del otro). Por lo tanto, no existe un automorphism $\xi\in G$ tal que $\xi$ mantiene a $\omega$ fijo, y los intercambiadores $\alpha$$\beta$. De ello se sigue que como una permutación $$\xi=(14)(25)(36).$$ Vemos que $\langle\xi,\gamma\rangle$ es un Sylow $2$-subgrupo de $G$, e $\langle\tau,\delta\rangle$ es un Sylow $3$-subgrupo de $G$. Juntos, los dos grupos deben generar todos los de $G$.

Answer 2

Aquí es una solución que siento que es ligeramente diferente de la dada por Jyrki Lahtonen.

Vamos a probar, primero, que el $[E:\mathbb{Q}]$ es, de hecho,$36$.

Considere el siguiente campo de extensiones: $$\mathbb{Q} \subconjunto \mathbb{Q}(\omega) \subconjunto \mathbb{Q}(\omega \sqrt{2}) \subconjunto \mathbb{Q}(\omega \alpha) \subconjunto \mathbb{Q}(\omega \alpha, \beta).$$

Entonces

• $[\mathbb{Q}(\omega): \mathbb{Q}] = 2$, ya que el polinomio mínimo de a$\omega$$X^2+X+1$. Esta es una extensión de Galois.
• $[\mathbb{Q}(\omega, \sqrt{2}): \mathbb{Q}(\omega)] = 2$, ya que el polinomio mínimo de a$\sqrt{2}$$X^2-2$. Esta es una extensión de Galois.
• $[\mathbb{Q}(\omega, \alpha): \mathbb{Q}(\omega, \sqrt{2})]=3$, ya que el polinomio mínimo de a$\alpha$$X^3 - (2+\sqrt{2})$. Esta es una extensión de Galois.
• $[\mathbb{Q}(\omega, \alpha, \beta): \mathbb{Q}(\omega, \alpha)] = 3$. Esto es un poco más difícil de probar. Desde $X^3 - (2-\sqrt{2})$ $\beta$ como una raíz, a continuación, $[\mathbb{Q}(\omega, \alpha, \beta): \mathbb{Q}(\omega, \alpha)]$ es $1$ o $3$. Una forma rápida de ver que debe ser $3$ es darse cuenta de que $X^9-12X^6-6X^3-64$ es el polinomio mínimo de a$\alpha + \beta$$\mathbb{Q}$, lo $[\mathbb{Q}(\omega, \alpha, \beta): \mathbb{Q}]$ tiene que ser divisible por $9$.

Por lo tanto $[E:\mathbb{Q}] = 36$.

Ahora, para calcular el grupo de Galois. Tenga en cuenta que, por el Galois correspondencia, existen dos subgrupos de orden $3$, que corresponde a la intermedia extensiones $\mathbb{Q}(\omega, \alpha) \subset \mathbb{Q}(\omega, \alpha, \beta)$$\mathbb{Q}(\omega, \beta) \subset \mathbb{Q}(\omega, \alpha, \beta)$. Estos subgrupos son generados por los elementos de a$A$$B$, respectivamente, quienes fix $\omega$ y son definidos por $$Un(\alpha) = \alpha, \ (\beta)=\omega\beta \ B(\alpha)=\omega\alpha, \ B(\beta)=\beta.$$ Tenga en cuenta que $A$ $B$ viaje, por lo que generan una $3$-subgrupo de Sylow isomorfo a $(\mathbb{Z}/3)^2$.

Tenga en cuenta que el complejo de conjugación, lo que vamos a denotar por $C$, es también un elemento del grupo de Galois. Por otra parte, la extensión de $\mathbb{Q}(\omega, \alpha+\beta)/\mathbb{Q}$ es de grado $18$ por los de arriba. Por la correspondencia de Galois, que corresponde a un subgrupo de orden $2$, generado por un elemento $D$ que corrige $\omega$ e intercambios $\alpha$$\beta$. Tenga en cuenta que $D$ $C$ viaje, por lo que generan un subgrupo isomorfo a $(\mathbb{Z}/2)^2$.

Esto nos dice que el grupo de Galois es generado por $A,B,C$$D$. Las relaciones dentro del grupo son, por ejemplo: $A^3=B^3=C^2=D^2=1, AB=BA, CD=DC, AC=CA^2, BC=CB^2, DA=BD$$DB=AD$. Yo creo que estos constituyen una presentación del grupo de Galois.