Factorial-como la función que se comporta como $ 1\times \sqrt{2} \times \sqrt[3]{3} \times \dots \times \sqrt[n-1]{n-1} \times \sqrt[n]{n} $?

Question

Barnes de la función G es una generalización del factorial funcion que crece mucho más rápido. El factorial:

$$ n! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times (n-1) \times n $$

Entonces es posible escribir un super-factorial:

$$ n!! = 1! \times 2! \times 3! \times \dots \times (n-1)! \times n! = 1^n \times 2^{n-1} \times \dots \times (n-1)^2 \times n^1 $$

Para una determinada función combinatoria $f(n)$ podemos intentar extender a$f(x)$$n < x < n+1$. El super-factorial puede continuar hasta el Barnes de la función G.

¿Cómo puedo obtener una función que se comporta como el producto de los sucesivos $n$-th raíces?

$$ f(n) = 1\times \sqrt{2} \times \sqrt[3]{3} \times \dots \times \sqrt[n-1]{n-1} \times \sqrt[n]{n} $$

He intentado buscar entre las múltiples funciones gamma, pero no hay ninguna negativa múltiples funciones Gamma... ¿y ahora qué?

Answer 1

Uno puede observar que $$ \begin{align} f(n)&=1\times \sqrt{2} \times \sqrt[3]{3} \times \dots \times \sqrt[n-1]{n-1} \times \sqrt[n]{n} \\&=\prod_{k=1}^n k^{\large \frac1k} \\&=e^{ \sum_{k=1}^n\!\frac{\ln k}k}. \end{align} $$ We are then led to consider $\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{\ln k}k$.

Uno puede recordar la Stieltjes constantes y la generalizada Stieltjes constantes, $$ \begin{align} \gamma_1=&\lim_{N \to \infty}\left(\sum_{k=1}^N \frac{\ln k}k- \int_{1}^N \frac{\ln x}x\:dx\right) \\\gamma_1(a)=&\lim_{N \to \infty}\left(\sum_{k=0}^N \frac{\ln (k+a)}{k+a}-\int_{0}^N \frac{\ln (x+a)}{x+a}\:dx\right),\quad a>0, \end{align} $$ then one may observe that, for $n\ge1$, $$ \sum_{k=1}^n \frac{\ln k}k= \lim_{N \to \infty}\left(\sum_{k=1}^N \frac{\ln k}k- \frac{\ln^2 N}2\right)-\lim_{N \to \infty}\left(\sum_{k=1}^N \frac{\ln (k+n)}{k+n}- \frac{\ln^2 (N+n)}2\right) $$ dando

$$ 1\times \sqrt{2} \times \sqrt[3]{3} \times \dots \times \sqrt[n-1]{n-1} \times \sqrt[n]{n}=e^{\Large\gamma_1-\gamma_1(n+1)}, \qquad n\ge1. $$

Algunos de los resultados sobre el Stieltjes constantes : Coffey (2005), Adell (2010), Fekih-Ahmed (2014), París (2015).