Me interesó el otro día por un profesor de investigación en el uso de variedades algebraicas para caracterizar ciertos escasa estimación problemas. Luego miré un poco de Vakil notas y fue a través de un par de capítulos de Una Invitación a la Geometría Algebraica. Me pueden seguir en un buen nivel, pero yo no entiendo muy bien las ideas más amplias. ¿Cómo se hace exactamente álgebra conmutativa dilucidar geométricas nociones de las raíces de polinomios (lo que incluso son?)? También, entiendo que la idea básica de una gavilla, pero ¿qué local de los anillos y tal tienen que ver con la real curvas en el espacio?
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Es un tema común en las matemáticas que en lugar de que el estudio de objetos geométricos, (tales como espacios topológicos) directamente, concedemos algebraicas invariantes a estos espacios (como la homología o homotopy grupos) y el estudio de estos algebraica de los objetos en su lugar. A veces esta correspondencia es muy fuerte: por ejemplo, la suave estructura (real) liso colector $M$ pueden ser recuperados desde el anillo de las funciones lisas $$ \mathcal{C}^\infty(M) = \{f : M \to \mathbb{R} \mid f \text{ es suave}\} \, . $$ Así que en lugar de estudiar el colector de sí mismo, podemos estudiar las funciones en el colector de que estén debidamente agradable. En el caso de un afín conjunto algebraico $X$, "buena" significa regular.k.una. funciones polinómicas. (También hay funciones racionales, pero me voy a centrar en funciones regulares.) El conjunto de tales funciones se forma un anillo, llamado el anillo de coordenadas de la $X$, que denotamos $\Gamma(X)$.
Por ejemplo, considere el círculo unidad $C: x^2 + y^2 = 1$ en el plano afín $\mathbb{A}^2$ más de una algebraicamente cerrado campo de $k$ (que suponemos ha de característica cero, por simplicidad). Tenga en cuenta que las funciones $$ f = x+ y \qquad \text{y} \qquad g = x + y + x^2 + y^2 - 1 $$ dar el mismo valor en todos los puntos de $(x,y)$ $C$ desde $x^2 + y^2 - 1 = 0$$C$. De hecho, cualquiera de los dos polinomios que difieren en un múltiplo de $x^2 + y^2 - 1$ inducir la misma función en $C$. A partir de esto, llegamos a la conclusión de que el anillo de coordenadas de $C$ es $$ \Gamma(C) = \frac{k[x,y]}{(x^2 + y^2 - 1)} \, . $$
Propiedades de la algebraicas conjunto se reflejan en las propiedades de la coordenada anillo. Por ejemplo, $X$ es irreductible (es decir, no puede ser escrito como la unión de dos pequeños conjuntos algebraicos) iff $\Gamma(X)$ es una parte integral de dominio. La dimensión de $X$ es la misma que la dimensión de Krull de $\Gamma(X)$. Hilbert Nullstellensatz implica que el (cerrado) los puntos de un conjunto algebraico $X$ están en bijective correspondencia con los máximos ideales de la $\Gamma(X)$.
Así pues, tenemos un mapa $$ \mathcal{F}: \left\{\text{afín algebraicas conjuntos}\right\} \a \left\{\text{finitely generadas $k$-álgebras de}\right\} \, . $$ Esta asociación es (contravariantly) functorial: dado un mapa de $\varphi: X \to Y$ algebraico de conjuntos, hay un inducida por el mapa de $\varphi^*: \Gamma(Y) \to \Gamma(X)$ de sus coordinar los anillos. (De hecho, esto le da un anti-equivalencia de categorías entre afín algebraica de los conjuntos y los llamados reducido afín $k$-álgebras.) De nuevo, las propiedades del mapa de $\varphi$ son reflejados por los de $\varphi^*$. Por ejemplo, $\varphi^*$ es inyectiva iff $\varphi$ es dominante, es decir, tiene densos de la imagen. Si $\varphi^*$ es una parte integral de la extensión de los anillos, a continuación, $\varphi$ es finito, que en particular implica que sus fibras tienen cardinalidad finita.
Como se podría esperar, el anillo local en un punto codifica propiedades locales de la algebraicas conjunto. Supongamos $X$ es una curva. A continuación, $X$ es suave en un punto de $x$ (con sus correspondientes ideal maximal $\mathfrak{m}$) si el anillo local $\Gamma(X)_\mathfrak{m}$ es integralmente cerrado, lo cual es equivalente a ser un discreto valoración de dominio. (Hay muchas más de las equivalencias; ver aquí para más.) Para encontrar el orden de la desaparición de una función de $f$ a un punto de $x$, se puede calcular su valor en el anillo local $\Gamma(X)_\mathfrak{m}$. (Ver aquí para un ejemplo).
Esta respuesta es ya desde hace tiempo, pero me he dejado un montón!
Yo no he discutido funciones racionales, y el campo de ellos, que se llama el campo de función.
Si el campo $k$ tiene características de las $p \neq 0$, la de coordinar el anillo se vuelve más complicado porque las $x^p - x = 0$ todos los $x \in \mathbb{F}_p$. Si $k$ no es algebraicamente cerrado, las cosas son más complicadas, ya que el Nullstellensatz no es cierto. Por ejemplo, $(x^2 + 1)$ es un ideal maximal en $\mathbb{R}[x]$, pero en realidad corresponde a la (Galois órbita de) puntos de $\{i, -i\}$. Aritmética de los geómetras estudio algebraico de los conjuntos definidos en $\mathbb{Q}$ o en un campo de número, en el que la teoría de Galois juega un papel aún más importante.
Solo he escrito sobre afín algebraicas conjuntos, pero al escuchar la palabra "variedad"," creo que la mayoría de la gente piensa primero de variedades proyectivas. Cada variedad proyectiva está cubierto por afín a abrir sets, por lo que el estudio afín variedades es todavía importante, pero ahora hay complicaciones añadidas como tratamos de "pegamento" de objetos que existen en estos afín abre para conseguir en todo el mundo un objeto definido. Además, hay muy pocos (a nivel global) regular las funciones en una variedad proyectiva: la constante de funciones. Así somos llevados a relajar nuestro requisito de "nice" y en lugar de considerar las funciones racionales, que pueden tener los polos. Esto también nos lleva a poleas: dado un conjunto abierto $U$ de una variedad proyectiva $X$, consideramos que el anillo de $\mathcal{O}_X(U)$ de las funciones racionales que son regulares (es decir, polo-libre) a $U$.
Todo esto es todavía "clásica" de la geometría algebraica, lo que significa que no hemos discutido poleas, localmente anillado espacios, o esquemas. Para el clásico de la geometría algebraica, recomiendo Shafarevich del Básico de la Geometría Algebraica, Vol. 1. Para la geometría algebraica a partir de un esquema de la teoría de la perspectiva, creo que Vakil notas son realmente el mejor, aunque es posible que también como Eisenbud y Harris La Geometría de los Esquemas. Para una media de tierra entre las dos perspectivas, usted puede mirar en Milne notas.
