Es de carácter indefinido de integración en gran medida una heurística o puede ser mecánico?

Question

Lo siento por poner a varias preguntas en el mismo post, pero creo que proporcionar respuestas aquí, será mejor.

Hasta donde yo sé, no existe una "fórmula de producto' para las integrales, como el que tenemos para la derivada. Además, puedo estar equivocado, pero creo que un general de la clase de funciones, que difieren por una constante, tienen la misma derivada. Así que, ignorando la constante, uno podría pensar que un producto fórmula podría existir. Por lo tanto, mi primera pregunta:

Puede ser demostrado que no existe una "fórmula de producto' para las integrales, o es justo que no se ha descubierto todavía?

Vamos a reducir nuestro caso sólo las funciones racionales. Parcial de las fracciones para la integración es una muy buena técnica, pero creo que no puede ser usado para todas las funciones racionales, porque no todos los polinomios tienen todas las raíces reales. Así:

Hay un técnica/algoritmo para integrar todas las funciones racionales?

Otra pregunta abierta, que creo, es que hay técnicas y fórmulas para las integrales no descubierto todavía, o la existencia de estas técnicas de fórmulas/ha demostrado la falsedad de algunos teorema? La respuesta a cualquier pregunta es suficiente.

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Después de leer algunas de las respuestas, sentía la necesidad de ser más precisos. La integración por partes de la fórmula, por lo que yo sé, es de nuevo una heurística, y no mecánicos. Así, no hay posibilidad de integración por partes teorema de ser una fórmula de producto. Otro usuario respondió que pensé en una fórmula que combina las funciones de un modo elemental, y la propuesta de que es bien sabido que la función de sinc no se han cerrado de forma integral, y de modo que tal fórmula no existe. Pero, para añadir a esto, también existe la posibilidad de que tal fórmula puede producir un indefinido resultado, o algún extraño resultado, que podemos relacionar con la ausencia de tal forma cerrada de la solución. Lo que estoy buscando es un teorema o resultado que claramente demuestra la no existencia de dicha fórmula, teniendo en cuenta todas las posibilidades.

Answer 1

Debido a las críticas en los comentarios, me estoy limitando el alcance y la reescritura de mi respuesta. Yo todavía creo que tengo algo que ofrecer aunque admito que mi respuesta no es completa.

El alcance de la pregunta en sí misma no es del todo clara. Posiblemente hay tres preguntas: (1) ¿Cómo integrar cualquier función simbólica? (2) Hace un producto "regla" para las integrales existen? (3) ¿Cómo se puede integrar cualquier función racional. Creo que (2) es muy interesante.

Voy a tratar de (2) y (3) pero (1) está fuera de mi conocimiento. Soy consciente de términos relacionados , tales como el diferencial álgebra diferencial y la teoría de galois y el algoritmo de risch que puede arrojar luz pero, de nuevo, no soy conocedor en esto.

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Para (2):

Sospecho que usted está esperando para una fórmula como la siguiente. Tomemos la inspiración de la regla del producto para los derivados que tiene la forma $$\frac{d}{dx}(fg)=\lambda(f,f',g,g')$$ con $\lambda$ primaria, la función se define como:$\lambda(w,x,y,z)=wz+xy$. Deje $F$ $G$ ser el antiderivatives de $f$ $g$ respectivamente. Tomando la diferenciación caso, usted está esperando para una fórmula $$\int fg dx = \lambda(f,F,g,G)$$ donde $\lambda$ es algún tipo de función que es "agradable". Implícito también es el "C". En concreto, yo diría que está hecho de funciones elementales o menor precisión, el tipo de funciones que puedes encontrar en pre-cálculo. (Admito que no cubre todas las bases, sin embargo, el siguiente va a dar al menos un poco de perspicacia.)

Ahora tomemos el caso de $f=1/x$, $F=\log x$, $g=\sin x$ y $G = -\cos x$. Se nos había esperanza para algunos de expresión

$$\int \frac{\sin x}{x} dx = \lambda (1/x, \log x, \sin x, -\cos x).$$

Sin embargo, es bien sabido que no hay forma cerrada a la integral de la la así llamada función de sinc $\sin x/x$ en términos de funciones elementales. Pero si $\lambda$ toma en funciones elementales y las combina en un modo elemental, la expresión anterior también tendría que ser la escuela primaria. Por lo que no "expresa muy bien", o elemental fórmula para un "producto integral con la regla".

Esto nos dice que al menos sería una bestia de un problema para encontrar una función de este tipo. Pero de una manera, esto es al revés ya que el trabajo real de la muestra $(\sin x)/x$ no tiene buen integral indefinida es en sí mismo un problema difícil.

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Para (3):

Permítanme que les recuerde cómo se puede lidiar con cuadrática factores en fracciones parciales, tales como $$r(x) = \sum \frac{p_i(x)}{q_i(x)}$$ donde $q_i(x)$ es de grado 2 y tiene raíces complejas y $p_i$ es de grado 1 en la mayoría de los. Ahora siempre se puede completar el cuadrado y sumar y restar en el numerador para obtener un formulario $$\int \frac{2c(x-a)+d}{(x-a)^2+b^2} dx = \int \frac{2c(x-a)}{(x-a)^2+b^2} + \frac{d}{(x-a)^2+b^2} dx.$$ El primer término se evalúa a $c\log((x-a)^2+x)$. El segundo a $d/b \arctan[(x-a)/b]$.

Esto no es una explicación detallada de cómo calcular el antiderivatives de funciones racionales, pero quiero que sea consciente de este punto.

Answer 2

Primero de todo, hay un par de punteros. Compruebe siempre para $u$-sustitución, si es que eso es posible, entonces por todos los medios, por favor utilice. En segundo lugar, tenemos la integración por partes, diseñado para la integración de los productos. Y además, hemos parcial fracción de descomposición, como se explica en esta respuesta.

Allí también pasa a ser esto realmente bonita respuesta que da la solución para algunos casos especiales, los cuales pueden ser modificados a través de sustituciones para ofrecer soluciones a muchas de las integrales.