$x^2+y^2=z^n$ : ¡Encuentra soluciones sin Pitágoras!

Question

Se me presentó el siguiente problema:

Demostrar que existen soluciones para $x^2+y^2=z^n$ para todos $n$ con $x,y,z, n \in \mathbb{N}$

Demostré que tomando cualquier triple pitagórico $x^2+y^2=z^2$ y multiplicando por $z^{2(n-1)}$ obtenemos $(z^{n-1}x)^2+(z^{n-1}y)^2=(z^2)^n$ que me permite generar soluciones fácilmente para cualquier valor de $n$ . He conseguido encontrar varias preguntas similares en este sitio, como por ejemplo este sobre el caso concreto $n=3$ . Observo que todas estas preguntas tienen un enfoque similar y parten de una tripleta pitagórica y la utilizan para generar soluciones generales.

¿Hay alguna forma de demostrar la afirmación (o mejor aún, de dar soluciones a la ecuación) sin recurrir primero a Pitágoras?

Answer 1

La solución $(x,y,z)=(0,1,1)$ funciona para todos $n$ .

---

Si no quiere permitir $0$ , entonces dejemos que $x,y\in\Bbb{N}$ sea tal que $$x+yi=(1+2i)^n.$$ Entonces $$5^n=((1+2i)(1-2i))^n=(1+2i)^n(1-2i)^n=(x+yi)(x-yi)=x^2+y^2.$$

---

Alternativamente, si $n$ es impar let $m:=\frac{n-1}{2}$ para que $$(2^m)^2+(2^m)^2=2^n.$$

---

Finalmente, de forma menos constructiva, un teorema de Gauss nos dice que si un número entero no es divisible por ningún primo congruente con $3$ modulo $4$ , entonces es una suma de dos cuadrados. Por lo tanto, existen soluciones para cualquier $n$ .

Answer 2

Interpreto su pregunta de la siguiente manera: para cualquier número entero positivo $n$ existe un número entero positivo $z$ tal que $z^n$ es la suma de dos cuadrados (de números enteros). Pero el teorema de Gauss sobre las sumas de dos cuadrados -basado en la descomposición de los primos en los enteros de Gauss- establece que un entero positivo $z$ es una suma de dos cuadrados si para cualquier primo $p\equiv 3 \bmod 4$ el exponente $v_p(z)$ tal que $p^{v_p(z)}$ divide exactamente $z$ (esto podría ser $0$ ) es par . Dado que $v_p(z^n)=nv_p(z)$ concluimos que : - si $n$ es par, cualquier $z$ lo hará -si $n$ es impar, $z$ lo hará si $z$ es una suma de dos cuadrados.