¿Qué está tan mal con el pensamiento de los números reales como infinito de decimales?

Question

Timothy Gowers le pregunta Qué está tan mal con el pensamiento de los números reales como infinito de decimales?

Uno de los primeros objetivos de casi cualquier curso de matemáticas de la universidad es enseñar a las personas a dejar de pensar de los números reales como infinito de decimales y al respecto en su lugar, como elementos de la completo único ordenado de campo, que puede ser mostrado a existir por medio de Dedekind cortes, o de Cauchy secuencias de racionales. Me gustaría discutir aquí que no hay nada de malo pensar en ellos como infinito de decimales: de hecho, muchos de los argumentos tradicionales de análisis a ser más intuitivo a la hora que uno hace, incluso si son menos ordenada. La pulcritud es, por supuesto, una gran ventaja, y no quiero sugerir que las universidades deben cambiar la forma de enseñar los números reales. Sin embargo, es bueno ver cómo el tratamiento convencional está conectado, y crece fuera de, más "ingenuo" de ideas.

y le da un corto de la construcción de los números reales como infinitos decimales, a continuación, utilizando para demostrar la existencia de raíces cuadradas, y el teorema del valor intermedio.

¿Cuáles son otras razones a favor o en contra del pensamiento de los números reales como infinito de decimales?

Answer 1

No hay nada de malo con que a veces el pensamiento de los números reales como infinitos decimales, y, de hecho, esta perspectiva es útil en algunos contextos. Hay un par de razones por las que introductoria análisis real de los cursos tienden a empujar a los estudiantes a no pensar en los números reales de esta manera.

Primero, los estudiantes son generalmente ya está familiarizado con esta perspectiva en los números reales, pero no están familiarizados con las perspectivas de otros que son más útiles y naturales de la mayor parte del tiempo en las matemáticas avanzadas. Por lo que no es especialmente necesario enseñar a los estudiantes acerca de los números reales como infinitos decimales, pero es necesario enseñar a otras perspectivas, y para enseñar a los estudiantes a no exclusivamente (ni siquiera principalmente) pensar acerca de los números reales como infinito de decimales.

En segundo lugar, un objetivo importante de muchos de estos cursos es rigurosamente desarrollar la teoría de los números reales a partir de "primeros principios" (por ejemplo, en un ingenuo marco de la teoría de conjuntos). Los estudiantes que están familiarizados con los números reales como infinitos decimales casi nunca están familiarizados con ellos en un verdadero modo riguroso. Por ejemplo, ¿realmente sabes cómo rigurosamente definir cómo multiplicar dos infinitos decimales? Es casi seguro que no, y la mayoría de ellos tienen un montón de dificultades para hacerlo, incluso si se trató. Es posible dar una completamente riguroso de la construcción de los números reales como infinitos decimales, pero no es particularmente fácil o instructivo para hacerlo (en comparación con otras construcciones de los números reales). En cualquier caso, si la construcción de los números reales rigurosamente a partir de cero, que significa que usted necesita para "olvidar" todo lo que ya "sabía" acerca de los números reales. Por lo que los estudiantes necesitan saber para no asumir los hechos acerca de los números reales cualesquiera que sean ingenuos comprensión que podría haber tenido con anterioridad.

Tercero, es engañoso describir infinitos decimales como la base de la "ingenua" la comprensión de los números reales. Por desgracia, es a menudo la principal comprensión de lo que se enseña en la escuela primaria, pero este énfasis oscurece el hecho de que en última instancia, la motivación de los números reales es la idea intuitiva de medir no discretas cantidades, tales como el geométrico longitudes. Cuando usted piensa acerca de los números reales, de esta manera, ellos están mucho más estrechamente relacionado con el concepto de un "ordenado", campo que el concepto de infinito de decimales. Los antiguos matemáticos razonada acerca de los números de esta manera durante siglos, sin la moderna notación decimal para ellos. Así que en realidad la idea de representar los números por infinitos decimales no es en absoluto un simple "ingenuo" la idea, sino de una complicada y bastante ingeniosa idea (que tiene algunas sutilezas, tales como el hecho de que dos diferentes expansiones decimales se pueden representar el mismo número). Es sólo un accidente que hoy en día se enseña a los estudiantes acerca de esta perspectiva en los números reales, mucho antes de que los otros.

Answer 2

Una objeción a pensar en los números reales como "infinito de decimales" es que se presta para pensar en la distinción entre números racionales e irracionales como ser principalmente acerca de si los decimales se repiten o no. Esto a su vez conduce a algunos muy problemático malentendidos, como el de la imagen de abajo:

Sí, sí, has leído bien: el autor de este libro cree que $8/23$ es un número irracional, porque no hay un patrón para los dígitos.

Ahora es fácil descartar esto como simple ignorancia: por supuesto que los dígitos hacer repetir, pero usted tiene que ir más lejos en la secuencia decimal antes de que esta se hace visible. Pero una vez que usted este aviso, empieza a reconocer todo tipo de problemas con la "no-repetición de los decimales noción de número irracional: ¿Cómo se puede nunca decir, mirando una representación decimal de un número real, si es racional o irracional? Después de todo, la mayoría de nosotros puede ver nunca es un número finito de dígitos; tal vez la repetición de parte se inicia después de la parte que nos están mirando? O tal vez lo que parece ser una repetición de decimales (es decir $0.6666\dots$) resulta que tiene un 3 en el trigésimo quinto decimal, y a partir de entonces es que no se repiten?

Ahora, obviamente, estos problemas pueden ser evitados mediante una más precisa de la noción de "racional": Un número racional es aquel que puede ser expresado como una proporción de números enteros, un número irracional es aquel que no puede ser. Pero usted se sorprenderá de cómo resistentes a la idea errónea de que se muestra en la imagen de arriba se puede. Los errores relacionados con el son omnipresentes: estoy seguro que no soy el único que ha visto a los estudiantes el uso de una calculadora para obtener una aproximación decimal de algunas de número irracional (digamos, por ejemplo,$\log 2$) y varios pasos más adelante el uso de un "convertir a fracción" comando en su calculadora gráfica para expresar una cadena de dígitos como algunos cerca-pero-no-igualdad de número racional.

Si usted realmente desea conseguir que los alumnos se alejen de estos tipos de errores, en algún momento, usted tiene que proporcionar con la noción de "número" que es independiente de la representación decimal de ese número.

Answer 3

Por la misma razón de que es incorrecto pensar de transformaciones lineales como matrices, o pensar en real $n$-dimensiones de espacios vectoriales, como acaba de $\mathbb{R}^{n}.$

¿Qué es tan especial acerca de la base de $10$? ¿Por qué no los números binarios o ternarios números? En particular, ternario números sería útil para la comprensión de la ternario de Cantor conjuntos. Pero, al parecer, deberíamos de pensar en decimales?

Esto no canónica de elección es innecesario, estéticamente desagradable, y distrae la atención de ciertas intuiciones ser obtenida a partir de, digamos, la geometría de la vista de los reales como puntos de una recta. Es mejor pensar de los números reales como lo que son: Un sistema de cosas (¿qué son esas cosas? Clases de equivalencia de las secuencias de los racionales? Los puntos en una línea? No importa) que tienen cierto muy bonito propiedades. Igual que los vectores son solo elementos de espacios vectoriales: los Objetos que obedecen a ciertas reglas. Empujones extras en el no distrae la atención de las matemáticas.

Answer 4

Creo que la enseñanza de reales infinitos decimales, en primer lugar, es un error que se deriven de la falta de una mejor descripción.

He aquí cómo se presente el problema de los infinitos decimales. Cómo, por ejemplo, se definen la suma de dos infinitos decimales ? Se supone que uno debe de empezar a añadir decimales a la derecha a la izquierda, como en la escuela primaria. Pero no hay ningún dígito de más a la derecha. Entonces, ¿cómo podemos definir la suma ? Bueno, OK, para salvar la idea que uno se lleva todos los truncamientos agregar y, a continuación, probar que se estabilizan. Es que debemos probar que convergen. Esto se puede hacer, pero es que es una especie de desorden. ¿Cómo podemos entonces definir la multiplicación ? Lo mismo, pero peor. Imagina que prueben la ley distributiva. En cualquier caso, usted ha llegado por necesidad en el concepto de una secuencia de Cauchy.

La otra razón es que los infinitos decimales carece de la intuición geométrica necesaria para la comprensión de la topología de los reales.

Answer 5

La notación Decimal para el general de los números reales no es universalmente intuitiva. Tiene una serie de problemas:

• Aritmética con nonterminating decimales ha desconocido complicaciones, porque la gente se utilizan para realizar cálculos aritméticos desde el extremo derecho.
• Algunas personas tienen una gran dificultad para aceptar que la representación no es único
• A algunas personas no les agarre el infinito de la naturaleza, y en lugar de imaginar un decimal como el simple hecho de tener un gran número finito de dígitos — a veces con la creencia de que los decimales son inherentemente aproximado y puede representar un número exacto.
• Algunas personas no alcanzan a comprender la infinita naturaleza de una manera diferente, único ser capaz de conceptualizar una secuencia de terminación de decimales

Incluso tiene graves problemas filosóficos; por ejemplo, son adecuados para los diversos criterios constructivos para las matemáticas. Usted no puede calcular ni siquiera el primer dígito de la $.333\ldots + .666\ldots$ menos que pueda demostrar que una lleve ¿o no propaga desde la derecha. (o puede probar que es un caso especial, tales como los números en realidad se $1/3 + 2/3$, en vez de una secuencia desconocida que realmente tiene que generar para encontrar su dígitos)

Hay pedagógico de los problemas; la teoría detrás de decimales surge a partir de la de infinito sumatorias, pero el cálculo y análisis de los cursos tienden a preferir a empezar con límites, continuidad, y similares nociones topológicas.

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Por cierto, creo que he visto al menos un texto cuya prueba de que una completa ordenó existe el campo es mostrar a la aritmética de los números decimales es tal.