¿Por qué estudiar espacios vectoriales finito-dimensionales en abstracto si todos son isomorfos a $R^n$ ?

Question

Timothy Gowers pregunta ¿Por qué estudiar espacios vectoriales finito-dimensionales en abstracto si todos son isomorfos a $R^n$ ? y enumera algunas razones. La más poderosa de ellas es probablemente

Hay muchos ejemplos importantes en las matemáticas de infinito-dimensional espacios vectoriales. Si uno ha entendido los espacios de dimensión finita sin coordenadas, la parte relevante de la teoría se traslada fácilmente. Si no, no.

Claro, pero ¿qué más? ¿Alguien conoce ejemplos de espacios vectoriales específicos?

Answer 1

Para cualquier número entero $k$ el conjunto $M_k$ de funciones de diferenciación compleja $f$ definido en el plano medio superior $\{x+iy: \, y > 0\}$ que satisfagan las ecuaciones $$f(z+1) = f(z), \; \; f(-1/z) = z^k f(z)$$ y tienen límite $\lim_{y \rightarrow \infty} f(iy) = 0$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$ .

Dos elementos específicos de $M_k$ incluyen las funciones $$E_4(z) = 1 + 240 \sum_{n=1}^{\infty} \sigma_3(n) e^{2\pi i n z} \in M_4$$ y $$E_8(z) = 1 + 480 \sum_{n=1}^{\infty} \sigma_7(n) e^{2\pi i nz} \in M_8.$$ Toma, $\sigma_k(n)$ es la suma de los divisores $\sum_{d | n} d^k$ .

Suponiendo que $E_4 \in M_4$ es bastante fácil demostrar que $E_4^2 \in M_8.$

Se puede demostrar que $M_8$ es unidimensional, por lo que $E_4^2$ es múltiplo de $E_8$ . Comparando los coeficientes constantes se obtiene que deben ser iguales, y comparando los otros se obtiene la fórmula $\sigma_7(n) = \sigma_3(n) + 120 \sum_{m=1}^{n-1} \sigma_3(m) \sigma_3(n-m).$

Por ejemplo $$\sigma_7(2) = 1 + 2^7 = 1 + 2^3 + 120$$ y $$\sigma_7(3) = 1 + 3^7 = 1 + 3^3 + 120(1+2^3 + 1 + 2^3).$$

Muchos espacios vectoriales como éste aparecen en la teoría de números. Suelen ser finito-dimensionales, pero elaborar una base es bastante difícil (ciertamente más difícil que demostrar que son finito-dimensionales).

Answer 2

Si has decidido que sólo vas a llamar "espacio vectorial" a los de la forma $\mathbb R^n$ entonces nos encontramos en la situación de que ahora los subespacios ya no son espacios vectoriales.

Answer 3

Considere una pregunta análoga:

¿Por qué considerar conjuntos finitos en abstracto si todos son isomorfos a $\{1,\ldots,n\}$ para algunos $n$ ?

• Porque puede haber nombres para los elementos que sean más naturales para una situación dada que $1,\ldots,n$ por ejemplo, podemos querer referirnos a $$\{\text{red},\text{green},\text{blue}\}$$ en lugar de $$\{1,2,3\}\text{ where we agree that 1 stands for red, 2 for green, 3 for blue}$$

• En general, los nombres de los elementos no siempre son importantes

• Hay muchos subconjuntos de un conjunto de la forma $\{1,\ldots,n\}$ para algunos $n$ que no sean a su vez conjuntos de la forma $\{1,\ldots,n\}$ para algunos $n$

Answer 4

La respuesta descarada es que no sabríamos que todos los espacios vectoriales de dimensión finita son isomorfos a $\mathbb{R}^n$ si no estudiáramos los espacios vectoriales de dimensión finita por derecho propio. En matemáticas, generalmente nos gusta utilizar el menor número posible de supuestos y aislarlos en forma de axiomas.

Véase https://en.wikipedia.org/wiki/Examples_of_vector_spaces para ver ejemplos de espacios vectoriales que parecen muy diferentes de los que se encuentran en el mundo de la geometría. Los espacios de funciones son buenos ejemplos; el espacio $X \rightarrow \mathbb{R}$ de todas las funciones continuas de un espacio topológico dado $X$ a $\mathbb{R}$ es un ejemplo natural.

Answer 5

Yo diría que los estudiamos precisamente porque son isomorfas a $\mathbb{R}^n$ . ¿A qué me refiero?
Quiero decir que como ya estamos familiarizados con $\mathbb{R}^n$ podemos utilizar esta intuición para comprender los espacios vectoriales en general y, una vez hecho esto, podemos generalizar los conceptos a otros espacios vectoriales. menos -objetos intuitivos (como los espacios vectoriales de dimensión infinita) al tiempo que trasladamos nuestra comprensión.