Ayuda con un primer número de la espiral que gira 90 grados en cada uno de los prime

Question

Me desperté con el siguiente rompecabezas y me gustaría investigar, pero la respuesta puede requerir un poco de programación (puede que no). He preguntado en el meta sitio y creo que la pregunta para que sea adecuado y esperemos que interesante para la comunidad.

Voy a tratar de explicar el rompecabezas lo mejor que puedo, a continuación, el detalle de las preguntas, estoy interesado en después de.

Imaginar el papel cuadriculado. En una plaza se escribe el número 1. Continuar con la escritura de los números de izquierda a derecha (como es normal) hasta llegar a un primo. El siguiente número después de un primer debe ser escrito en el cuadrado situado a 90 grados en sentido horario hasta la última. A continuación, continúe escribiendo los números en esa dirección. Este procedimiento debe ser continuado indefinidamente.

Aquí está una muestra de la cuadrícula:

$$\begin{array}{} 7&8&9&10&11&40&41 \\6&1&2&&12&&42\\5&4&3&14&13&44&43\\&&34&&26\\&&33&&27\\&&32&&28\\&&31&30&29\end{array}$$

Tenga en cuenta que el cuadrado que contiene 3 también contiene 15 (no puedo ponerlo en sin confundir el diagrama. De hecho, algunas plazas contienen múltiples entradas. Me hubiera gustado ver una versión ampliada del diagrama. Yo pensaba originalmente de sombreado de las plazas que contienen al menos un número.

Preguntas ¿La plaza rodeada de $2,3,9,10,11,12,13,14$ nunca llegan a la sombra? Si es así, la red siempre estar a la sombra? Hay un número máximo de veces que un cuadrado puede ser visitado? He ido 4 veces, pero es fácil cometer errores con la mano. Hay patrones repetidos en las lagunas? Tengo otras ideas pero esto es suficiente por ahora ya tengo realmente ninguna idea de cómo de fácil o difícil es este problema.

Por favor, perdóname por no tomar más lejos, ya que es tan fácil cometer errores. Espero que esto sea interesante para la comunidad y mirar hacia adelante para cualquier resultado. Gracias.

Cualquier pregunta que voy a hacer mi mejor esfuerzo para aclarar.

Nota: he observado que, inicialmente al menos, el patrón le gusta aferrarse a sí mismo, pero sospecho que no más adelante.

Answer 1

Sólo para visual de diversiones, aquí hay más fotos. En todos los casos, el punto inicial es un gran punto rojo.

Los números primos hasta el $10^5$:

Los números primos hasta el $10^6$:

Los números primos hasta el $10^6$ a partir de las brechas de longitud $>6$:

Los números primos hasta el $10^7$ a partir de las brechas de longitud $>10$:

Los números primos hasta el $10^8$ a partir de las brechas de longitud $>60$:

Para todos los interesados, todas las imágenes fueron generados usando Sage y variaciones en el código siguiente:

d = 1
p = 0
M = []
prim = prime_range(10^8)
diff = []
for i in range(len(prim)-1):
    diff.append(prim[i+1]-prim[i])
for k in diff:
    if k>60:
        M.append(p)
    d = -d*I
    p = p+k*d
save(list_plot(M,aspect_ratio = 1,axes = false,pointsize = 1,figsize = 20)+point((0,0),color = 'red'),'8s.png')

Answer 2

Voy a responder a su pregunta sobre la diferencia entre el$2$$12$. Voy a ampliar esta respuesta si me entero de más cosas más adelante.

Tenga en cuenta que la brecha está en una columna que contiene sólo números, por lo que nunca vamos a hacer una vuelta en esta columna. Del mismo modo, el único número impar que contiene la fila es $1$, y esto sucede porque el $2$ es la única incluso, el primer número. Así que no hay manera de que podamos empezar a escribir los números en la misma fila o columna donde la diferencia es, por lo que la brecha nunca va a estar a la sombra.

La plaza donde se escribe el $3$ es importante. A partir de este punto y, más tarde, que a su vez sólo en cuadrados con un número impar. Podemos llamar a este celular $(0,0)$, y asignar coordenadas a otras células en consecuencia; por ejemplo, $14$$(1,0)$$2$$(0,1)$.

Ahora vemos que las células con dos coordenadas contienen los números impares. Las células con un par de coordenadas y el otro impar contienen números y las células con impar coordenadas permanecen vacías, excepto la de punto de partida.

Hay arbitrariamente espacios entre números consecutivos, por lo que creo que el esquema va a crecer, probablemente, en las cuatro direcciones aproximadamente a la misma velocidad. Pero hechos como este parece muy difícil de demostrar.

Answer 3

Inspirado por las respuestas pendientes tuve la idea de la construcción de parte del patrón con Legos. Espero que sea de ACEPTAR para agregar interés.

Cada color es para cada capa. El rojo es el número uno y el azul para la primera capa.

Answer 4

Usted ya tiene una respuesta, por lo que este debe ser un comentario, pero que contiene las imágenes, el patrón de $n$$1000$$10\,000$. El punto rojo, si se puede ver, es el punto de partida.

Para $n=10\,000$ hay cuatro plazas visitó $7$ veces.

Answer 5

Como Karl notas, hay casos de superposición en algunos números en esta secuencia. Me han elegido para mostrar una representación tridimensional de la ruta de acceso, el uso de $n$ apilar cubos para representar el $n$ veces un cierto punto en la cuadrícula fue visitado:

$n=10^3$

$n=10^4$

$n=10^5$

---

Para aquellos que quieren probar en Mathematica:

With[{n = 1*^5}, 
     Graphics3D[{EdgeForm[], 
                 Flatten[Table[Cuboid[Append[# - 1/2, k - 1],
                                      Append[# + 1/2, k]], {k, #2}] & @@@ 
                 Tally[AnglePath[-π Boole[PrimeQ[Range[n - 1]]]/2]]]}, 
                Boxed -> False]]

(Si su versión de Mathematica no tiene AnglePath[], utilice la función de esta respuesta en su lugar.)