Cómo clasificar $2$ -Los paquetes de aviones sobre $S^2$ ?

Question

Tengo curiosidad por saber cómo se pueden clasificar los haces sobre un determinado colector. Recientemente he leído este documento sobre la clasificación $2$ -sobre superficies compactas. Muchos de los conceptos pasaron por encima de mi cabeza ya que todavía tengo problemas para hacer clasificaciones más "triviales".

Para acostumbrarme a las clasificaciones más difíciles, espero acostumbrarme primero a hacer las más fáciles. Así, tengo curiosidad por saber cómo se puede clasificar el $2$ -planea paquetes sobre $S^2$ . Para ser honesto, no estoy seguro de cómo abordar este problema.

Answer 1

Un haz vectorial en $S^2$ puede construirse pegando dos haces vectoriales triviales sobre $S^2_+$ y $S^2_-$ los hemisferios cerrados. Esto se llama el construcción del embrague ; véase, por ejemplo, el libro de Husemoller.

Las "instrucciones de pegado" son un mapa del ecuador, un ciclo $S^1$ , a $\mathrm{GL}_n(\mathbb R)$ y el resultado depende únicamente de la clase de homotopía de este mapa $S^1\to\mathrm{GL}_n(\mathbb R)$ . Por lo tanto, para hacer la clasificación que se desea, hay que clasificarlas hasta la homotopía.

Trabajando esto, se termina con una biyección entre clases de isomorfismo de $2$ -de los haces vectoriales en $S^2$ y elementos de $\pi_1(\mathrm{GL}_2(\mathbb R))$ . Este último grupo es isomorfo a $\mathbb Z$ .