La longitud del rodillo de tocador

Question

Diversión con las Matemáticas tiempo.

Mi mamá me dio un rollo de papel higiénico para ponerlo en el cuarto de baño, y busca en él de inmediato me preguntó acerca de esto: es posible que, de una forma muy simple de matemáticas, para calcular (con un error pequeño) el total de la longitud del papel de un papel higiénico?

Escribir algunos de matemáticas, me vino a este estudio, la cual comparto con ustedes porque hay algunas preguntas que tengo en mente, y porque, como alguien ha dicho con razón: para cada problema siempre hay al menos 3 soluciones.

Empecé a esbozar el problema de manera geométrica, es decir, buscando sólo en lo esencial: el rollo de arriba, la identificación de las principales parámetros:

Parámetros

$r = $ radio de los internos del círculo, es decir, el tubo de papel de círculo;

$R = $ radio de todo el rollo de papel;

$b = R - r = $ "parcial" de radio, es decir, la diferencia de dos radios como se indica.

Primer Punto

He tratado todo el problema en la forma discreta. [Ver el final de esta pregunta para obtener más detalles acerca de lo que significa]

Cálculo

En una forma discreta, el problema pide la longitud total del papel enrollado, por lo que la forma más fácil es tratar el problema por el pensamiento acerca de la duración como la suma de toda la circunferencia de la partida por radio $r$ y terminando con radio $R$. Pero, ¿cuántas circunferencias hay?

Aquí está uno de los puntos principales, y entonces pensé que la introducción de un nuevo parámetro esencial, a saber, el espesor de una sola hoja. Aviso que es importante a tener que hacer con cantidades mensurables.

Llamar a $h$ el espesor de una sola hoja, y sabiendo que $b$ nos puede dar una estimación de la cantidad de hojas de $N$ se rodó:

$$N = \frac{R - r}{h} = \frac{b}{h}$$

Tener que calcular una suma, la longitud total de $L$, entonces es:

$$L = 2\pi r + 2\pi (r + h) + 2\pi (r + 2h) + \cdots + 2\pi R$$

o mejor:

$$L = 2\pi (r + 0h) + 2\pi (r + h) + 2\pi (r + 2h) + \cdots + 2\pi (r + Nh)$$

En el que, obviamente, $2\pi (r + h 0) = 2\pi r$ y $2\pi(r + Nh) = 2\pi R$. Escribir como una suma (y el cálculo), se obtiene:

$$ \begin{align} L = \sum_{k = 0}^N\ 2\pi(r + kh) y = 2\pi r + 2\pi R + \sum_{k = 1}^{N-1}\ 2\pi(r + kh) \\\\ Y = 2\pi r + 2\pi R + 2\pi \sum_{k = 1}^{N-1} r + 2\pi h \sum_{k = 1}^{N-1} k \\\\ Y = 2\pi r + 2\pi R + 2\pi r(N-1) + 2\pi h\left(\frac{1}{2}N(N-1)\right) \\\\ Y = 2\pi r + 2\pi R + \pi hN^2 - \pi h N \end{align} $$

Usando ahora: $N = \frac{b}{h}$; $R = b - a$ y $a = R - b$ (porque $R$ es fácilmente medible), llegamos después de poco de álgebra para

$$\boxed{L = 4\pi b + 2\pi R\left(\frac{b}{h} - 1\right) - \pi b\left(1 + \frac{b}{h}\right)}$$

Pequeño Ejemplo

$h = 0.1$ mm; $R = 75$ mm; $b = 50$ mm allí $L = 157$ metros

que podría encajar.

Últimas Preguntas

1) Podría ser una buena aproximación?

2) ¿Qué acerca de la $\gamma$ factor? Es decir, el papel de factor de compresión?

3) Podría existir un cálculo similar a través de la integración a través de una trayectoria en forma de espiral? Porque en realidad es lo que es: una espiral.

Muchas gracias por el tiempo dedicado a esta tal vez tedioso tal vez aburrido tal vez divertido pregunta!

Answer 1

Su aproximación es excelente. Es más fácil hacer $$\begin{align} L = \sum_{k = 0}^N\ 2\pi(r + kh) y = 2\pi r(N+1) +2\pi h\frac 12N(N+1) \\&=2\pi r(N+1)+\pi(R-r)(N+1) \\&=\pi(R+R)(N+1) \\&=\pi(R+R)\left(\frac {R-r}h+1\right) \end{align}$$

Usted no tiene que preocuparse acerca del papel de la compresión, ya que $h$ es la distancia entre dos capas como el papel de la herida. Esto puede ser mayor que el espesor medido de una hoja, pero eso no es un problema. Como usted dice, que han modelado el papel como una serie de cilindros concéntricos. Para hacer una espiral, no es muy equivocados (y un poco mejor que lo que tienen), para considerar el radio aumentando linealmente desde el inicio hasta el final. El papel será la hipotenusa de un triángulo con una pierna de la $L$ que usted ha calculado y los otros $R-r$, por lo que la longitud se convierte en $$L'=\sqrt {L^2+(R-r)^2}\approx L\left(1+\frac {R-r}{2L^2}\right)$$ es una pequeña corrección.

Answer 2

Supongo que usted puede tomar el papel de las capas son estrictamente circular, no espiral. La diferencia entre la longitud de un círculo y un bucle espiral correspondiente es insignificante.

Entonces el área entre los círculos con radios $R$ y $ $r es un área lateral de la cinta de papel, que es su longitud veces espesor: $$\pi(R^2-r^2) = Lh por lo tanto $$ $$ L = \pi\frac {R ^ 2 r ^ 2} h$ $

Answer 3

Permite hacer la espiral de la versión. Mediante su notación, en una espiral de incorporarse a los círculos de radios $r$ y $R$ con $N$ giros que tiene la forma $S(t)=(r+\frac{tb}{2\pi N})e^{i t}$, donde $t\in[0,2\pi N]$

La longitud $L$ de la espiral es

$$\begin{align} L & = \int_{0}^{2\pi N}|S'(t)|dt \\ & = \int_{0}^{2\pi N}\Big|\frac{b}{2\pi N}e^{es}+(r+\frac{tb}{2\pi N}), es decir^{que}\Big|dt \\ & = \int_{0}^{2\pi N}\sqrt{\Big(\frac{b}{2\pi N}\Big)^2+\Big(r+\frac{tb}{2\pi N}\Big)^2}dt \\ & = \frac{b}{2\pi N}\int_0^{2\pi N}\sqrt{1+\Big(\frac{2\pi Nr}{b}+t\Big)^2}dt \\ & = \frac{b}{2\pi N}\int_{2\pi Nr/b}^{2\pi N(r/b+1)}\sqrt{1+t^2}dt \\ & = \frac{b}{4\pi N}\big(t\sqrt{1+t^2}+\ln(t+\sqrt{1+t^2})\big)\Big|_{2\pi Nr/b}^{2\pi N(r/b+1)} \end{align}$$

Answer 4

Uso de la sección transversal de volumen para calcular.

Ya que el problema inicial se mide como diámetros y una espiral que no tiene una verdadera final "de diámetro", claramente tenemos que utilizar la aproximación.

Sabemos que el volumen de la sección transversal de papel higiénico es de $V = \pi * (R^2 - r^2)$

Si planteamos el papel higiénico en toda su longitud, la sección transversal será de $V=L * T$

La configuración de estos dos iguales el uno al otro, nos dan $L*T = \pi * (R^2 - r^2)$

La reducción de esta a la longitud, nos dan $L = \pi * (R^2 - r^2) / T$

Yo trabajo en la industria de los metales, y esta es la forma de calcular la longitud de una bobina de metal, basados en el conocimiento de su espesor, el diámetro interior y el diámetro exterior. Su desafío con el papel higiénico es medir el espesor real. A diferencia del metal, el papel higiénico es a menudo "acolchado", lo que hace que su espesor difícil de medir.