Grupos abelianos isomórficos que no son módulos R isomórficos

Question

Estoy buscando un ejemplo de dos grupos abelianos isomórficos, que no son isomórficos $R$ -módulos para algún anillo $R$ .

Supongo que podemos hacer que el mismo grupo abeliano $M$ dos veces, y usar una operación diferente $R \times M \rightarrow M$ así que el $R$ Los módulos no son isomórficos. No puedo pensar en un grupo así $M$ y el anillo $R$ para hacer esto posible, sin embargo. ¿Alguna idea? Gracias.

Answer 1

Todos los espacios vectoriales reales de dimensiones finitas son isomórficos como grupos abelianos. Incluso se pueden añadir los dimensionales countativamente infinitos.

Más tarde. $ \mathbb R$ es una dimensión infinita $ \mathbb Q$ -espacio vectorial, por lo que una suma directa de finamente muchas copias (o muchas contables) de $ \mathbb R$ es isomorfo a $ \mathbb R$ como un $ \mathbb Q$ -espacio vectorial, y por lo tanto como un grupo abeliano. Esto depende de que los espacios vectoriales tengan bases (por lo tanto, del axioma que se elija, más o menos) y del hecho de que si $A$ es un conjunto infinito, entonces hay una bijección entre $A \times\ {0,1\}$ y $A$ que probablemente también depende de tener una elección a mano. Ya que nosotros hacer tienen elección, no hay ningún problema :-)

Answer 2

Me vienen a la mente los números duales sobre un campo.

Deje que $k[ \epsilon ]=k[t]/(t^2)$ ser considerado como un $k[t]$ -módulo. Como un $k$ -módulo (es decir, el espacio vectorial), $k[ \epsilon ] \cong k^2.$ Esto implica que $k[ \epsilon ] \cong k^2$ como grupos abelianos. Sin embargo, podemos dar $k^2$ lo trivial $k[t]$ -estructura de módulos por la cual $t \cdot (a,b)=(0,0)$ para cada $a,b \in k.$ Esta estructura es diferente de la anterior, ya que en $k[ \epsilon ]$ tenemos $t \cdot (a,0)=(0,a \epsilon ) \neq (0,0)$ para $a \in k^ \times. $

Answer 3

Aquí hay otra respuesta, motivada por una pregunta más reciente que pedía un ejemplo más "concreto". Dejemos que $R$ ser el anillo polinomio $ \mathbb Z[x]$ . Uno $R$ -El módulo es sólo $R$ en sí mismo, y el otro es el ideal $(2, x)$ en $R$ . (Este ideal consiste en todos los polinomios integrales con un coeficiente incluso constante.) Estos dos $R$ -no son isomórficos, ya que el primero puede ser generado por un solo elemento, a saber, 1, pero el segundo no puede. Sin embargo, un isomorfismo de $R$ a $(2, x)$ como los grupos abelianos se da duplicando el coeficiente constante y dejando todo lo demás igual.

Uno puede construir ejemplos similares usando varios otros anillos que tienen ideales no principales, tales como $k[x, y]$ , $ \mathbb Z[ \sqrt {-5}]$ etc.