Demostrar que G es un grupo, si G es finito, la operación es asociativa, y la cancelación de la ley de hols

Question

Deje $G$ ser un no-vacío finito conjunto con una operación binaria asociativa, de modo que la cancelación de la ley se mantiene, es decir, $ab=ac$ o $ba=ca$ implica $b=c$, para cualquier elección de $a,b,c$$G$. Se supone que hay un elemento de identidad $e$$G$. Mostrar que $G$ es un grupo.

Prueba: Para mostrar $G$ es un grupo de condiciones que deben tener. Supongamos que $ab=ac$, $b=eb=(a^{-1}a)b =a^{-1}(ab)=a^{-1}(ac) =(a^{-1}a)c=ce=c$. So left cancellation holds in $G$.

2) Supongamos $ba=ca$, $b=be=b(aa^{-1}) =(ba)a^{-1}=(ca)a^{-1} =c(aa^{-1})=ce=c$. So right cancellation holds in $G$.

3) Si $a$ existe en $G$ $aa^{-1}=a^{-1}a=e$ donde $a$ es una inversa de a $a^{-1}$. Desde inversos son únicos, $(a^{-1})^{-1}=a$.

4) Deje $x$ ser la inversa de a $ab$. A continuación,$(ab)x=e$. Por asociatividad tenemos $a(bx)=aa^{-1}$. A través de la izquierda cancelación hemos $bx=a^{-1}bx=ea^{-1}=b(b^{-1}a^{-1})$ $x=b^{-1}a^{-1}$.

Por lo tanto $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$. Así todas las condiciones, $G$ es un grupo.

Es esto una prueba de la correcta? Sé que para mostrar $G$ es un grupo de estas condiciones se han cumplido. Esto es todo lo que tengo para mostrar a la derecha?

Answer 1

Otra prueba de que hace uso del principio del palomar. Fix $a \in G$, y considerar el mapa $$ f : G \G \qquad x \mapsto una x. $$ Desde $G$ es cancellative, el mapa es inyectiva, por lo tanto surjective porque $G$ es finito, por lo que no es $b \in G$ tal que $e = f(b) = a b$.

Del mismo modo, no es $c \in G$ tal que $c a = e$.

Así $$c = c e = c (a b) = (c a) b = e b = b,$$ and $b = c$ is the required inverse of $$.

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Usted no tiene que asumir que no es una identidad, pero puede probar que existe.

El primer espectáculo, con los argumentos anteriores, que cualquier elemento de a $z$ $G$ puede ser escrita en la forma $z = x a$, para algunas de las $x \in G$. A continuación, mostrar que no es $s \in G$ tal que $a s = a$. Ahora $$z s = x a s = x a = z, \quad\text{for all $z \in G$,}$$ so $s$ is a right identity. Similarly there is a left identity $t$ such that $$t z = z,\quad \text{for all $z \in G$,}$$ and finally $$t = t s = s$$ es la identidad.

Answer 2

Usted sabe que la cancelación tiene en $G$, es una hipótesis, por lo que no tiene que demostrarlo. Y, lo más importante, usted no puede utilizar los inversos de los elementos sin antes demostrar que existe, que es exactamente lo que tienes que hacer.

Considerar un elemento $a\in G$ y el mapa de $f_a\colon G\to G$ definido por $$ f(x)=ax $$ Este mapa es inyectiva. Por qué?

Este mapa es también surjective, debido a una importante hipótesis que usted tiene. Cual?

Ahora, ¿qué se puede decir sobre el elemento $x$ tal que $f_{a}(x)=e$? Es...

A continuación, considere el mapa de $g_{a}\colon G\to G$ definido por $g_{a}(x)=xa$. Repetir el razonamiento para concluir.

Answer 3

No, usted parece estar asumiendo cosas como la inversa de la existiría en su prueba, que es la única cosa que usted realmente necesita para probar (los otros 3 condiciones en la definición de un grupo se le dio).

Así que elige $a\in G$, y considerar el conjunto $$ \{a, a^2,^3, \ldots \} \subconjunto G $$ Desde $G$ es finito, este conjunto es finito, y por tanto no existe $a^i, a^j$ tal que $i>j$ y $$ a^i = a^j $$ Ahora considere el $f = a^{i-j}$, luego $$ fa^j = a^i = a^j = ea^j \Rightarrow f = e $$ Por lo tanto, si $b = a^{i-j-1}$, luego $$ ab = e = ba $$ y, por tanto, $b = a^{-1} \in G$