Simplificar $\sum_{k=1}^{n} {k\choose m} {k}$

Question

$\sum_{k=1}^{n} {k\choose m} {k}$

Me han tratado de ampliar, pero el m es bastante molesto.

Cualquier idea para deshacerse de la suma y dar una fórmula simple?

Hay una parte antes de $\sum_{k=1}^{n} {k\choose m} {\frac{1}{k}}$, a ver si te da alguna idea.

Answer 1

Para controlar esto, usted puede absorber primero el factor de $k$ en el coeficiente binomial. En realidad un factor de $k+1$ absorbe mejor: $(k+1)\binom km=(m+1)\binom{k+1}{m+1}$. Así que usted puede escribir $$ \sum_{k=0}^nk\binom km = \sum_{k=0}^n(m+1)\binom{k+1}{m+1}-\sum_{k=0}^n\binom km $$ a continuación, utilizando la identidad de $\sum_{k=0}^n\binom km=\binom {n+1}{m+1}$, esto se simplifica a $$ \sum_{k=0}^nk\binom km =(m+1)\binom{n+2}{m+2}-\binom{n+1}{m+1} =\frac{mn+m+n}{m+2}\binom{n+1}{m+1}. $$

Aquí están combinatoria argumentos para la igualdad utilizado. Para la absorción de la ley, $(k+1)\binom km$ cuenta el número de maneras de seleccionar entre $k+1$ candidatos a un presidente y a $m$ vice-presidentes, que también se puede hacer mediante la selección de la $m+1$ (vicepresidente)los presidentes y, a continuación, la elección de un presidente de entre ellos.

Para la identidad de $\sum_{k=0}^n\binom km=\binom {n+1}{m+1}$, si uno debe elegir $m+1$ $n+1$ números de $0,1,2,\ldots,n$, uno puede comenzar a elegir un elemento $k$ que va a ser el elemento más grande de la selección; a continuación, elegir el resto de los elementos se puede elegir cualquier subconjunto de a $m$ de la $k$ números que están a menos de$~k$. Todos en todo lo que usted consiguió $\sum_{k=0}^n\binom km$ opciones, que además de conseguir todos los resultados exactamente una vez.

Añadido. La identidad de $\sum_{k=0}^n(k+1)\binom km =(m+1)\binom{n+2}{m+2}$ se puede dar la siguiente directa, si algo complicada, combinatoria interpretación. El RHS cuenta el número de maneras de elegir un subconjunto $S$ $n+2$ número de $\{0,\ldots,n+1\}$, y marca un no-máximo número elegido. Esta opción también puede ser obtenido por primera eligiendo $k+1=\max(S)$ (determinar el $0\leq k\leq n$) y, a continuación, el elemento seleccionado entre $\{0,1,\ldots,k\}$ (por un factor de $k+1$), y finalmente el $m$ restante (no máxima, sin marcar los elementos de la si $S$, en uno de $\binom km$ formas posibles; la LHS cuenta estas opciones. Tenga en cuenta que no hay tal procedimiento en el que participarán $\max(S)$ existiría si hubiéramos permitido que $\max(S)$ sí mismo para ser marcados.

Answer 2

Mathematica simplifica mediante la eliminación de k: $$ \frac{\frac{(m n+m+n) \Gamma (n+2)}{\Gamma (-m+n+1)}+\frac{1}{\Gamma (-m)}}{\Gamma (m+3)} $$ donde $\Gamma(\cdot)$ es la función Gamma.

Es necesario determinar las limitaciones en m y n.

Edit---Con $ \frac{1}{k}$ se simplifica a: $$ \frac{(m-1) (n+1) \binom{1}{m}+(-m+n+1) \binom{n+1}{m}}{m (n+1)} $$