Mostrar que $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\not=\frac{1}{a+b}$

Question

Problema

Suponga que $a,b\in\mathbb{R}-\{0\}$ y $a+b\not=0$. Demostrar que $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\not=\frac{1}{a+b}$.

Mi Prueba

Supongamos que $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a+b}$, entonces se sigue que $$ \begin{equation} (a+b)^2-ab=0 \end{equation} $$

Deje $x=a+b$$y=ab$. Ahora$b=x-a$$y=a(x-a)=ax-a^2$. La ecuación anterior puede ser escrita como $$ x^2-y=0 $$ Sustituyendo $y=ax-a^2$ en esta ecuación da $$ x^2-ax+a^2=0 $$ El discriminante de esta ecuación de segundo grado (en $x$) $-3a^2<0$ y, por tanto, $x=a+b$ no tiene solución real. Esto significa $a+b\in\mathbb{C}$ y, por lo tanto, de $a$ o $b$ o ambos, no son reales, pero esto contradice nuestra suposición de que $a,b$ son números reales. Por lo tanto, por la contradicción $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\not=\frac{1}{a+b}$.

Mi Pregunta

Es mi prueba correcta? ¿hay alguna alternativa pruebas?

Answer 1

Aquí es otro enfoque:

Ha $(a+b)^2 = ab$, lo $ab>0$. La expansión de la ecuación da $a^2+b^2+ab = 0$. Por lo tanto debemos tener $ab<0$, una contradicción.

Answer 2

Ha $a^2+ab+b^2=0$. Tratar esto como una ecuación cuadrática en la que la incógnita es $a$ nos da esta solución: $$ a=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4b^2}}{2} = \frac{-b\pm b\sqrt{-3}}{2} = b\left(\frac{-1\pm i\sqrt 3} 2 \right). $$ Así que si $b$ es cualquier número complejo con la excepción de $0$ (por ejemplo, deje $b=1$) y $a$ es como se indica más arriba, a continuación, $$ \frac 1 + \frac 1 b = \frac 1 {a+b}. $$ Pero por otro lado esta última identidad no se sostiene.

Alternativamente, uno podría simplemente buscar contraejemplos. Por ejemplo, si $a=1$ $b=1$ $$ \frac 1 + \frac 1 b = 1 + 1 =2 \quad\text{y}\quad\frac 1 {a+b} = \frac 1 2\quad\text{y}\quad 2\ne \frac 1 2. $$

Answer 3

Suponga que w.n.l.g. que $a>0$$b \in (-a,a]$. Ahora, si $b>0$, $$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} > \frac{1}{a} > \frac{1}{a+b}. $$ Por otro lado, si $b<0$, $$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \le 0 < \frac{1}{a+b}. $$