Perfectamente centrado en romper de un estante de la bola de piscina perfectamente alineados

Question

Esta es una pregunta en la Física SE y MathOverflow por alguien más. Creo que no pertenece allí, sino aquí (por las razones que allí se indican en mis comentarios, no; edit: ahora auto-eliminado).

Imaginar el comienzo de una partida de billar, tiene 16 bolas, 15 de ellos en un triángulo <| y 1 de ellas la bola a la izquierda de ese triángulo. Imagina que el bastidor (el 15 de bolas en un triángulo), tiene toda la bola igualmente espaciadas y de que todas las pelotas tocando todas las demás bolas. De que todas las pelotas son perfectamente redondas. Ahora, imagina que la bola fue golpeada a lo largo de una fricción de la superficie libre en el eje central de este triángulo O-------<| y golpea el extremo izquierdo de la bola de la rejilla centro muerto en este eje. Cómo sería el rack de reaccionar? Me imagino que esto sería una extensión de newtons cuna y sólo el 5 bolas en el extremo se mueven todos. Pero en qué forma se mueven? Gracias

Answer 1

Esto es. El perfectamente centrada billar descanso. He aquí.

El programa de instalación

Esta ruptura fue calculada en Mathematica el uso de un numérica de ecuaciones diferenciales del modelo. Aquí hay un par de detalles de la maqueta:

• De que todas las pelotas son asumidos para ser perfectamente elástica y casi perfectamente rígida.
• Cada bola tiene una masa de 1 unidad y un radio de 1 unidad.
• La bola tiene una velocidad inicial de 10 unidades/seg.
• La fuerza entre dos bolas está dado por la fórmula $$ F \;=\; \begin{casos}0 & \text{si }d \geq 2, \\ 10^{11}(2-d)^{3/2} & \text{si }d<2,\end{casos} $$ donde $$ d es la distancia entre los centros de las bolas. Tenga en cuenta que las bolas se superponen si y sólo si $d < 2$. El poder de $3/2$ fue sugerido por Yoav Kallus en Matemáticas de Desbordamiento, porque sigue Hertz teoría de la no-adhesivo de contacto elástico.

La velocidad inicial de la bola es inmaterial -- desaceleración de la bola es la misma como ralentizar el tiempo. La fuerza constante de $10^{11}$ no tiene ningún efecto real siempre que sea lo suficientemente grande, aunque sí cambia la velocidad a la que la inicial de la colisión tiene lugar.

La Colisión

Para este modelo, toda la colisión tiene lugar en la primera 0.2 milisegundos, y ninguna de las bolas de superposición por más de 0,025% de su radio durante la colisión. (Estas cifras son dependiente del modelo -- real bolas de billar puede chocar más rápido o más lento que el de este.)

La siguiente animación muestra las fuerzas entre las bolas durante la colisión, con la fuerza proporcional al área de cada círculo amarillo. Tenga en cuenta que las bolas de sí mismos casi no se mueve en absoluto durante la colisión, a pesar de que acelerar un poco.

Las Trayectorias

La siguiente imagen muestra las trayectorias de las bolas de billar después de la colisión.

Después de la colisión, algunas de las bolas viaja mucho más rápido que otros. La siguiente tabla muestra la magnitud y la dirección de la velocidad de cada bola, donde $0^\circ$ indica hacia arriba.

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{bola} & \text{cue} & 1 & 2,3 & 4,6 & 5 & 7,10 & 8,9 & 11,15 & 12,14 & 13 \\ \hline \text{ángulo} & 0^\circ & 0^\circ & 40.1^\circ & 43.9^\circ & 0^\circ & 82.1^\circ & 161.8^\circ & 150^\circ & 178.2^\circ & 180^\circ \\ \hline \text{velocidad} & 1.79 & 1.20 & 1.57 & 1.42 & 0.12 & 1.31 & 0.25 & 5.60 & 2.57 & 2.63 \\ \hline \end{array} $$

Para la comparación, recuerde que la velocidad inicial de la bola fue de 10 unidades/seg. Por lo tanto, bolas de 11 y 15 de la vuelta de la esquina bolas) shoot out en más de la mitad de la velocidad original de la bola, mientras que la bola 5 lentamente rollos hacia arriba en menos de 2% de la velocidad original de la bola.

Por cierto, si usted agrega la suma de los cuadrados de las velocidades de las bolas, usted consigue 100, ya que la energía cinética se conserva.

Lineal y Cuadrática Respuestas

Los resultados de este modelo depende de la energía de $3/2$ en la fuerza de la ley-otra fuerza que la ley le otorga a otros descansos. Por ejemplo, podríamos tratar de hacer la fuerza de una función lineal de la superposición distancia (en analogía con resortes y ley de Hooke), o podríamos tratar de hacer la fuerza es proporcional al cuadrado de la superposición de distancia. Los resultados son notablemente diferentes

Rígido Respuesta

Glenn el Udderboat señala que la "rigidez" pelotas podría ser la mejor manera aproximada por una fuerza de respuesta implica un mayor poder de la distancia (aunque esta no es la definición habitual de "rigidez"). Por desgracia, el tiempo de cálculo en Mathematica se hace más largo cuando se aumenta la potencia, presumiblemente debido a que es necesario utilizar un menor tiempo paso a ser lo suficientemente precisa.

Aquí es una simulación que implican un razonablemente de la "rigidez" de la fuerza de la ley $$ F \;=\; \begin{casos}0 & \text{si }d \geq 2, \\ 10^{54}(2-d)^{10} & \text{si }d<2.\end{casos} $$

Como se puede ver, el resultado es muy similar a mi primera respuesta a continuación. Esto parece una buena evidencia de que el comportamiento descrito en mi primera respuesta es, de hecho, el comportamiento limitante en el caso de que la rigidez tiende a infinito.

Como era de esperar, la mayoría de la energía en este caso se transfiere muy rápidamente al principio de la colisión. Casi toda la energía se mueve a la vuelta de la esquina bolas en la primera 0.02 milisegundos. Esta es una animación de las fuerzas:

Después de eso, la esquina de bolas y la bola de shoot out, y el resto de las bolas de seguir a chocar suavemente por la siguiente fracción de segundo o así.

Mientras que la simplicidad de este comportamiento es atractiva, me imagino que el "verdadero" bolas de billar no tienen una dura respuesta de fuerza. De los modelos que se citan aquí, la inicial Hertz-modelo basado en la es probablemente la más precisa. Cualitativamente, ciertamente parece lo más cercano a una "real" romper.

Nota: ahora he publicado el Mathematica código en mi página web.

Answer 2

Nota: yo no soy de borrar esta respuesta, ya que la discusión en los comentarios es muy interesante, pero no creo que esta respuesta es físicamente realista. Ver a mi otra respuesta para un mejor modelo.

Nota posterior: Bueno, resulta que este es un modelo realista si pones ciertas hipótesis sobre el rebote de las bolas! Consulte la "rigidez de respuesta" de la sección en mi otra respuesta.

Las dos bolas en las esquinas posteriores disparar de lejos a lo largo de rayos paralelos a los dos lados del triángulo. Aquí está una foto que muestra a las fuerzas, con cada vector de fuerza que emana desde el punto de contacto.