Desde mi entender, gamma matrices se transforma en virtud de la transformación de Lorentz $\Lambda$ \begin{equation} \gamma^{\mu} \rightarrow S[\Lambda]\gamma^{\mu}S[\Lambda]^{-1} = \Lambda^{\mu}_{\nu}\gamma^{\nu} \end{equation} Donde $S[\Lambda]$ es la correspondiente transformación de Lorentz en bispinor representación. Así que mi pregunta es: Cuando se cambia de cuadro a otro, se nos permite escribir $\gamma'^{\mu} = \Lambda^{\mu}_{\nu} \gamma^{\nu}$ donde $\gamma'^{\mu}$ es la transformada de la versión de $\gamma^{\mu}$? Si sí, entonces podemos escribir $\gamma^{\mu}$ explícitamente (en algunos representación) como hacemos en cualquier estándar de QFT libro de texto como \begin{equation} \gamma^{\mu} = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^{\mu} \\ \bar{\sigma}^{\mu} & 0 \end{pmatrix} \end{equation} asumimos ninguna específicos marco de referencia? Si es así, qué marco? Porque si puedo solicitar la transformación de Lorentz como un impulso a lo largo de $x$-dirección voy a tener \begin{equation} \gamma'^{0} = \cosh(\eta)\gamma^0 + \sinh(\eta)\gamma^1 = \begin{pmatrix} 0 & \cosh(\eta) + \sigma^1 \sinh(\eta) \\ \cosh(\eta) - \sigma^1\sinh(\eta) & 0 \end{pmatrix} \end{equation} y lo mismo para $\gamma^i$. Entiendo que al final la elección del marco de referencia no importa ya que es el punto de la teoría relativista como QFT. El término como $\bar{\psi}\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi$ en la teoría permanecerá invariancia bajo la transformación de Lorentz. Pero así como tenemos el impulso de shell condición de $p^{\mu}p_{\mu} = -m^2$ en todos los marcos, sino $p^{\mu}$ sí va a cambiar a partir de un fotograma para el otro y en el marco del resto de las partículas que hemos $p^{\mu} = (m,0,0,0)$ me parece que por la escritura de la $\gamma^{\mu}$ explícitamente como en el anterior, estamos seleccionando a un fotograma específico. Podría alguien por favor aclarar esto a mí?
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Creo que la mejor manera de pensar en esto es decir que la gamma matrices de no transformar. En otras palabras, el hecho de que llevan un vector de índices no significa que se forma de cuatro vectores. Esto es análogo a cómo las matrices de Pauli trabajo en regular la mecánica cuántica, así que permítanme hablar un poco sobre eso.
Supongamos que usted tiene un spin $1/2$ de las partículas en un estado $|\psi\rangle$. Usted puede calcular el valor de la media de $\sigma_x$ haciendo $\langle \psi | \sigma_x | \psi\rangle$. Ahora digamos que usted gire su partícula por un ángulo de $\theta$ $z$- eje. (Advertencia: Hay un 50% de probabilidad de mis señales son incorrectos.) Ahora describa sus partículas con diferentes ket, dado por $|\psi'\rangle = \exp(-i \sigma_z \theta /2)$. Recuerde que estamos dejando a las coordenadas fijas y rotativas el sistema, como usualmente se hace en la mecánica cuántica. Ahora la expectativa de valor está dado por
$$\langle \psi' | \sigma_x | \psi' \rangle = \langle \psi |\, e^{i\sigma_z \theta /2}\, \sigma_x\, e^{-i \sigma_z \theta / 2}\, | \psi\rangle$$
Hay una casa teorema, no es muy difícil de demostrar, que dice que
$$e^{i\sigma_z \theta /2}\, \sigma_x\, e^{-i \sigma_z \theta / 2} = \cos \theta\, \sigma_x -\sin \theta\, \sigma_y$$
Así resulta que la expectativa de valor para el girado sistema también se da por $\langle \psi |\, \cos \theta\, \sigma_x -\sin \theta\, \sigma_y \, |\psi\rangle = \cos \theta\, \langle \sigma_x \rangle - \sin \theta\, \langle \sigma_y \rangle$. Es como si salimos de nuestra partícula sola y girar las matrices de Pauli. Pero tenga en cuenta que si aplicamos la rotación $|\psi\rangle$, entonces no nos toque las matrices. También, nunca he dicho que me transformó las matrices. Yo sólo transformó el estado, y luego descubrí que podía dejarlo solo y rotar las matrices.
La situación de Dirac spinor es similar. El análogo de identidad es $S(\Lambda) \gamma^\mu S^{-1}(\Lambda) \Lambda^\nu_{\ \mu} = \gamma^\nu$. Esto es sólo algo que es cierto; nadie dijo nada acerca de la transformación de $\gamma^\mu$. No $\gamma^\mu \to \dots$ aquí.
Consideremos ahora la ecuación de Dirac, $(i \gamma^\mu \partial_\mu - m)\psi = 0$, y aplicar una transformación de Lorentz. Esta vez voy a cambiar de coordenadas en lugar de potenciar el sistema, pero no hay ninguna diferencia real. Digamos que tenemos nuevas coordenadas dadas por $x'^\mu = \Lambda^\mu_{\ \nu} x^\nu$, y queremos ver si la ecuación de Dirac tiene el mismo aspecto en esas coordenadas. El campo $\psi'$ como se ve en la $x'^\mu$ marco está dado por $\psi' = S(\Lambda) \psi \iff \psi = S^{-1}(\Lambda) \psi'$, y los derivados están relacionados por $\partial_\mu = \Lambda^\nu_{\ \mu} \partial'_\nu$. Conectar llegamos $(i\gamma^\mu \Lambda^\nu_{\ \mu} \partial'_\nu-m) S^{-1}(\Lambda)\psi' = 0$, que en realidad no se parecen a las nuestras ecuación original. Pero vamos a multiplicar a la izquierda por $S(\Lambda)$. $m$ es un escalar por lo $S$ va a la derecha a través de ella y se cancela con $S^{-1}$. Y en primer término, obtenemos $S(\Lambda)\gamma^\mu S^{-1}(\Lambda) \Lambda^\nu_{\ \mu}$, que de acuerdo a nuestra fiel identidad es justamente $\gamma^\nu$. Nuestra ecuación, entonces se simplifica a
$$(i\gamma^\mu \partial'_\mu - m)\psi'=0$$
Esta es la misma ecuación, pero escrito en el marco de cebado. Observe cómo la gamma matrices son los mismos de antes; cuando estás en clase y el profesor escribe en la pizarra, no es necesario preguntarse en qué sistema de coordenadas son válidos. Todo el mundo utiliza la misma gamma matrices. Ellos no están realmente un cuatro-vector, pero su "transformación de la ley" garantiza que nada se escriben como si fueran un cuatro vectores es invariante Lorentz mientras el adecuado spinors están presentes.
La gamma de matrices no cambiar si no se aplica un cambio de representación (por ejemplo, quirales -> estándar) junto con la transformación de Lorenz. Recordar que se puede escribir la ecuación de Dirac en un marco con gamma-matrices de la misma (por ejemplo, quirales) representación. Si cambia la representación de ellos mediante el uso de una matriz invertible $\gamma^\mu \to S\gamma^\mu S^{-1}$ (que no es una transformación de Lorenz, es decir, un escalar, en este sentido, el spinor también se transforma por la S: $\Psi \to S\Psi$. Este es el origen de la confusión: es$S=I$, entonces su ecuación
$$\gamma^\mu\S[Λ]\gamma^\mu S[L]^{-1} =Λ^\mu_\nu \gamma^\nu $$
debe leer como
$$ S[Λ]\gamma^\mu S[L]^{-1} = Λ^\mu_\nu \gamma^\nu. $$
Espero que ayudó a exorcizar la confusión.
