¿Por qué $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{(-1)^n \cdot n^2 + 1} = 1$?

Question

Como sugiere el título, quiero saber por qué la siguiente función converge a 1 de $n \to \infty$:

$$ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{(-1)^n \cdot n^2 + 1} = 1 $$

Incluso para $n$'s $n^2+1$ se muestra, lo cual hice de la siguiente manera:

$$\sqrt[n]{n^2} \le \sqrt[n]{n^2 + 1} \le \sqrt[n]{n^3}$$

Suponiendo que ya hemos demostrado que $\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{n^k} = 1$ podemos concluir que

$$1 \le \sqrt[n]{n^2+1} \le 1 \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n^2+1} = 1.$$

Por extraño $n$'s no puedo encontrar la solución. Traté de ir por la misma ruta como para, incluso, $n$'s:

$$\sqrt[n]{-n^2} \le \sqrt[n]{-n^2 + 1} \le \sqrt[n]{-n^3}$$

Y parece que se viene abajo a

$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{-n^k}$$

He comprobado el límite de uso de ambos Wolfram Alpha y un CAS y converge a 1. ¿Por qué es eso?

Answer 1

Es común que los CAS como Wolfram Alpha para tomar $n$th raíces son números complejos con el menor ángulo medido en sentido antihorario desde el eje real positivo. Por lo que el $n$th raíz de la negativa de los números reales, termina siendo en el primer cuadrante del plano complejo. Como $n\to\infty$, $n$th raíz sería acercarse al eje real y explicar por qué WA dice que el límite es de 1. CAS a hacer esto por razones de continuidad; de modo que $\sqrt[n]{-2}$ estará cerca de $\sqrt[n]{-2+\varepsilon\,i}$.

En lugar de $\sqrt[n]{x}$, usted puede conseguir alrededor de la cuestión con $\operatorname{sg}(x)\cdot\sqrt[n]{|x|}$ donde $\operatorname{sg}(x)$ es el signum función: $1$ positivos $x$ $-1$ negativos $x$.

Answer 2

sacar el (-1) ^ n fuera el soporte y resolver para obtener -1 como la respuesta, pero no 1