Diferencia entre dos definiciones de Manifold

Question

He estado estudiando Geometría Diferencial en el libro de Geometría Diferencial de Spivak. Como Spivak sólo trabaja con nociones de espacios métricos y análisis, me va bien. El caso es que Spivak presenta la siguiente definición de un colector:

Un colector $M$ es un espacio métrico tal que para cada $p \in M$ hay algo de vecindad $V$ de $p$ y algún número entero $n \geq 0$ tal que $V$ es homeomorfo a $\Bbb R^n$

Ahora bien, hay otra definición, que suele darse en los textos que suponen que el lector conoce la topología general, y la definición es:

Un colector $M$ es un espacio topológico tal que

1. $M$ es Hausdorff;
2. $M$ tiene una base contable para su topología;
3. $M$ es localmente euclidiano.

Por ahora me conformo con la definición de Spivak porque aún no he visto la topología general, pero tengo curiosidad con una cosa: ¿estas dos definiciones son equivalentes? Es decir, ¿todo espacio topológico con esas tres propiedades es metrizable, por lo que se puede poner en términos de la primera definición? ¿Hay alguna otra forma en la que se pueda decir que estas definiciones son equivalentes?

Muchas gracias de antemano por la ayuda.

Answer 1

En otras palabras, todo espacio topológico con esas tres propiedades es metrizable, de modo que puede ponerse en términos de la primera definición

Sí, así es. Las propiedades 1. y 3. dan que $M$ es Hausdorff y localmente compacta, y por tanto regular por un ejercicio estándar de topología general. Junto con la propiedad 2. esto da que $M$ es regular y segundo contable, por lo tanto metrizable por el Teorema de Urysohn.

Así, su segunda definición implica la definición de Spivak con metrizable en lugar de métrica . (Resulta un poco extraño definir una variedad como un espacio métrico en ausencia de una métrica riemanniana. Es poco probable que la métrica específica se utilice alguna vez).

Por el contrario, supongamos que $M$ es un espacio localmente euclidiano metrizable. Entonces, por supuesto $M$ es Hausdorff. Sin embargo, no es necesario que sea segundo contable. Una forma barata de que no lo sea es simplemente tomar una suma directa de incontables componentes conectados. Sin embargo, también es posible que un conectado Espacio Hausdorff localmente euclidiano no ser segundo contable. Aquí la condición es equivalente a algo llamado paracompacidad y el contraejemplo estándar de un espacio conectado Hausdorff localmente euclidiano que no es paracompacto es el larga cola . De hecho, estoy bastante seguro de que me enteré de esto en un apéndice del volumen I de la obra de Spivak Introducción completa a la geometría diferencial ¡! La equivalencia de la paracompacidad, la segunda contrastabilidad y la metrizabilidad para espacios conectados, Hausdorff y localmente euclidianos también debería encontrarse allí, si la memoria no me falla.

Permítanme decir también que absolutamente todo el mundo está de acuerdo en que una "variedad topológica" debe ser un espacio topológico localmente euclidiano. La mayoría de la gente está de acuerdo en que también debe ser Hausdorff, pero la minoría que no lo hace tiene sus razones: en cuanto se empiece a tomar cociente de los colectores por acciones de grupo se empezará a encontrar con tipos no Hausdorff. Si se debe imponer la paracompacidad o la segunda contabilidad (más fuerte) no es realmente una norma. Yo diría que probablemente ninguno de los dos debería figurar en la definición de una variedad topológica, pero cabe esperar que estas hipótesis se impongan a menudo en la práctica.