Solvencia por los radicales de una ecuación de primer grado

Question

¿Para que prime $p$ el %#% de la ecuación #% es soluble por radicales?

No sé cómo solucionar esto % primos $x^p-p^px+p=0$, por lo que cualquier ayuda es bienvenida.

Answer 1

Supongamos $p > 3$.

Claramente $f(x) = x^p-p^px+p$ es irreductible ( $\Bbb{Q}$ ) por el criterio de Eisenstein.

Ahora $f'(x) =p x^{p-1} - p^{p} = p (x^{p-1} - p^{p-1})$ tiene exactamente dos raíces reales $\pm p$, y desde $f(-p) > 0$$f(p) < 0$, se deduce que el $f$ tiene exactamente $3$ bienes raíces, y $p - 3 > 0$ no los reales, que vienen en el conjugado de a pares.

Así que el grupo de Galois de $f(x)$ contiene un $p$-ciclo, que se puede tomar en el formulario de $$g = (1 2 \dots p),$$ y un elemento de la forma $$ h = (a_{1} a_{2}) (a_{3} a_{4}) \dots (a_{p-4}, a_{p-3}). $$

---

Anexo

Ahora, como se nota por @JackSchmidt en su comentario a continuación, un resultado de Galois se aplica. Esto indica que si $p$ es una extraña prime, y $G$ es transitivo subgrupo de $S_{p}$, a continuación, los siguientes son equivalentes:

1. $G$ tiene un único $p$-subgrupo de Sylow, que es lo normal en $G$;
2. $G$ es soluble;
3. $G$ (similar) en un subgrupo del grupo afín en la línea sobre el terreno con $p$ elementos;
4. $G$ es un Frobenius grupo, que es el único elemento de $G$ fijar dos puntos distintos es la identidad.

Aquí estoy citando de B. Huppert del Endliche Gruppen I, Satz II.3.6.

De interés para nosotros es el hecho de que si $G$ es como en (1), o (4), entonces, como señaló @JackSchmidt, la involución $h$ debe normalizar $\langle g \rangle$. Pero involuciones hacer esto son $$ (2, p), (3, p-1) \dots \left(\dfrac{p+1}{2}, \dfrac{p+3}{2}\right), $$ y sus conjugados en virtud de los poderes de $g$. Estas involuciones invertir $g$$g^{-1} = (1, p, p-1, \dots, 3, 2)$.

Por lo tanto una involución de la normalización de la $\langle g \rangle$ es un producto de $(p-1)/2$ discontinuo transposiciones, a diferencia de $h$, que es un producto de $(p-3)/2$ discontinuo transposiciones. Por lo tanto, (1), no está satisfecho, por lo tanto (2) no está satisfecha, y los $G$ no es soluble.