¿Qué es "todo conjunto inductivo"?

Question

En Apostol "Cálculo I", en la página 22 hay la siguiente definición:

Un conjunto de números reales que se llama un conjunto inductivo , si tiene las dos propiedades siguientes:
(a) El número 1 está en el conjunto
(b) Para cada x en el conjunto, el número x + 1 también está en el conjunto.

La siguiente es una definición de enteros positivos:

Un número real se llama un entero positivo si es que pertenece a cada conjunto inductivo.

Así que mi pregunta es ¿qué se entiende por "todo conjunto inductivo". No entiendo muy bien esta definición.

Answer 1

El pensamiento acerca de la definición de "conjunto inductivo", usted encontrará que hay un montón de conjuntos inductivos, por ejemplo: el conjunto de todos los números reales, el conjunto de los números reales positivos, el conjunto de los números enteros, el conjunto de los números racionales, y mucho más. "Todo conjunto inductivo" significa todas estas, no sólo los que he mencionado, sino también todos los otros conjuntos que satisfacen la definición.

Observe que $1$ es en todos estos sets --- debido a que la definición de "conjunto inductivo", dice que es como estar allí. La (b) de la cláusula en la definición de la misma, aplicada con $1$ l valor de $x$), a continuación, se asegura de que $2$ es en todos los conjuntos inductivos. Continuando de esta manera, se puede ver que $3$, $4$, etc. también están obligados a estar en cada conjunto inductivo. Por otro lado, $0$ es sólo en algunos de los conjuntos inductivos, no en todos ellos (por ejemplo, no en el conjunto de los números reales positivos). Del mismo modo, $1/2$ es en algunos, pero no todos los conjuntos inductivos. Después de pensar en más ejemplos como estos, verás que los números enteros positivos son en todos los conjuntos inductivos, pero todos los demás números son sólo algunos, no todos, de los conjuntos inductivos.

Que la observación es lo Apostol se utilizan para definir lo que él entiende por entero positivo.

Answer 2

La declaración de "todo conjunto inductivo" significa el conjunto de todos los conjuntos inductivos, es decir, $S:=\{ A \subseteq \mathbb{R} : A \text{ is inductive}\}$. Tenga en cuenta que $S$ es no vacío desde $\mathbb{R}$ es claramente inductivo. Por lo tanto $\cap S$ tiene sentido que se usa para definir a $\mathbb{N}:= \cap S$.

Tenga en cuenta que este es un enfoque de arriba hacia abajo para constucting $\mathbb{N}$. Apostol está suponiendo la existencia de $\mathbb{R}$ y usarlo para construir $\mathbb{N}$ porque es fácil y útil para el estudio de análisis real. Hay un enfoque diferente que yo llamaría de "abajo hacia arriba", que proviene de un conjunto más teórica punto de vista. Suponiendo la existencia de un conjunto inductivo (inductiva en un significado ligeramente diferente en este caso) siendo uno de los axiomas de ZF. Esto nos da inmediatamente $\mathbb{N}$ y luego, trabajamos tediosamente para la construcción de $\mathbb{Z}$$\mathbb{Q}$,$\mathbb{R}$. Estas construcciones son buenos para conocer, pero no tiene mucho que ver con primaria análisis real, por lo que el enfoque de arriba hacia abajo se toma generalmente cuando el estudio de análisis real.

Answer 3

Tiene una definición de un conjunto inductivo, que en este contexto - parece - habla sobre subconjuntos de $\Bbb R$.

Si $x$ es ese número que cuando $A$ es un conjunto inductivo, $x\in A$, entonces decimos que $x$ es un número entero positivo.