Estimaciones en las clases de GACION de un grupo finito.

Question

En el Carácter de la Teoría De Grupos Finitos por I Martin Issacs como ejercicio 2.18, en la página 32.

Teorema:
Deje $A$ ser un subgrupo normal de $G$ tal que $A$ es el centralizador de todas las personas no-trivial elemento en $A$. Si $G/A$ es abelian, a continuación, $G$ |G:| caracteres lineales, y $(|A|-1)/|G:A|$ no-lineal irreductible personajes de grado =|G:| que se desvanecen fuera de $A$.
Mi Intento:
Por la hipótesis, cada conjugacy clase contenido en $A$ ha pedido=|G:|, excepto el trivial. Por otra parte, nos encontramos con que si $C$ es una clase que contiene un elemento en $\alpha A$, $C$ está contenido en $\alpha A$. Deje $A$ actuar en $C$ por la conjugación de la partición y $C$ en órbitas. De nuevo nos encontramos con que no hay elemento en $C$ es fijo por $A$, de modo que |C| es mayor que |A|, por lo tanto
k=número de clases en $G$$\le 1+(|A|-1)/|G:A|+(|G|-|A|)/|A|$.
Por otro lado, como $G' \subset A$, nos encontramos con que el número de caracteres lineales es $\ge |G:A|$. Además, por Mackey irreductibilidad criterio, hay exactamente (|A|-1)/|G:| irreductible caracteres inducidos por lineal de $A$. Por lo tanto, llegamos a la conclusión de que se indica.

Como es obvio, en este enfoque, si es correcta, explota las propiedades de la inducida por los personajes de Mackey, con la que todavía no estoy tan familiar, y por lo tanto me podría preguntar:
Yo: Es mi pruebe válido?
II:de Cómo proceder en los niveles de primaria manera?

Answer 1

No creo que usted necesita para utilizar Mackey u otros inducción de teoremas. Usted ya haya observado que (contando la identidad), no son exactamente $1 + \frac{(|A|-1)}{[G:A]}$ clases conjugacy reunión de $A.$ Ahora elija un elemento $b \in G \backslash A.$ Aviso que $|C_{G}(b)| \geq [G:A]$ debido a que hay al menos $[G:A]$ caracteres lineales de $G$, como ya se ha señalado, y para cualquier carácter lineal $\mu$ $G$ tenemos $|\mu(b)|^{2} = 1.$ Por otro lado, $C_{G}(b) \cap A = 1,$ $|G| \geq |A| |C_{G}(b)|$ $|C_{G}(b)| \leq [G:A].$ por lo tanto $|C_{G}(b)| = [G:A]$ por cada $b \in G \backslash A.$ por lo tanto, hay $[G:A]-1$ clases conjugacy de $G$ que no cumplan $A$, y cada uno de estos contiene $|A|$ elementos. Por lo tanto $G$ $[G:A] + \frac{|A|-1}{[G:A]}$ clases conjugacy, por lo tanto el mismo número de complejos irreducibles de caracteres. Desde $|C_{G}(b)| = [G:A]$ por cada elemento de a $b$ $G \backslash A,$ no puede haber más que $[G:A]$ caracteres lineales de $G,$, por lo que hay exactamente $[G:A]$ tales caracteres lineales, como sabemos que hay al menos esa cantidad. Además, a partir de la ortogonalidad de las relaciones, vemos que siempre que $\chi$ es una no lineal irreductible carácter de $G$, debemos tener $\chi(b) = 0$ todos $b.$ También, tenemos $\chi(1) \leq [G:A]$ por otros resultados en Isaacs libro, así que usted tiene la información suficiente para deducir que $\chi(1) = [G:A]$ para todos los no-lineal irreductible $\chi.$