Demostrando que $(1+10^n)$ no puede ser un número primo cuando $(n>2)$

Question

Demostrando que $$(1+10^n)$$ no puede ser un número primo

cuando $n>2$

Answer 1

El número $$10^n+1$$ sólo puede ser primo si $n$ es de la forma $2^k$ .

Una prueba sencilla de este hecho

Supongamos, $n$ tiene un factor primo impar $p$ . Denote $q:=\frac{n}{p}$ Entonces $10^q+1$ es un factor no trivial de $10^n+1=10^{qp}+1=(10^q)^p+1$ porque para cada número $t$ dividiendo $10^q+1$ obtenemos $10^n+1=(10^q)^p+1\equiv (-1)^p+1\equiv 0\ (\ mod\ t\ )$

Los números de fermat generalizados han sido estudiados en profundidad. El número más pequeño número $10^n+1$ para el que NO se sabe si es compuesto o primo, es

$$10^{2^{24}}+1$$

Las cifras $10^{2^k}+1$ con $2\le k\le 23$ son compuestas.

Así, un primo de la forma $10^n+1$ con $n>2$ tendría al menos una magnitud comparable al mayor primo conocido. Tendría al menos $2^{24}+1=16,777,217$ ¡dígitos!

Ver aquí :

http://www.prothsearch.net/GFN10.html

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