Supongamos que hay N macho y N hembra los estudiantes. Ellos están distribuidos al azar en k grupos.
Es más probable para un estudiante masculino de encontrar a sí mismo en un grupo con los más chicos y para mujer estudiante para encontrarse a sí misma en un grupo con más chicas?
El número esperado de hombres en un azar de un grupo escogido es exactamente la mitad del tamaño del grupo.
Si un grupo contiene al menos un hombre, entonces el número esperado de hombres será ligeramente más grande que la mitad del tamaño (y por lo tanto mayor que el número esperado de mujeres), así que la respuesta es SÍ.
Hay un poco de dificultad con el fraseo de la pregunta. Para una cosa, "distribuidos al azar" puede significar que cada grupo contiene exactamente $\frac{2 N}{k}$ a los estudiantes, o puede significar que cada estudiante elige un grupo de forma independiente (dando a grupos de diferentes tamaños, algunos de ellos tal vez vacía). Mi respuesta se aplica a cualquiera de los dos casos. Además, no está claro si se están preguntando si es más probable para un estudiante masculino de encontrar a sí mismo en un grupo con más de chicos que de encontrarse a sí mismo en un grupo con más chicas, o si usted se está preguntando si es más probable para un estudiante masculino de encontrar a sí mismo en un grupo con más de chicos que de encontrarse a sí mismo en un grupo con al menos tantas chicas como chicos. Estoy suponiendo que la anterior interpretación, de lo contrario (suponiendo que los grupos están limitados a ser de igual tamaño) si $k = N$, entonces un estudiante masculino se encuentra asociado con otro hombre con una probabilidad de $\frac{N-1}{2 N} \lt \frac{1}{2}$, y la respuesta en este caso sería que NO.
Este problema también se da la respuesta al por qué "siempre" en el largo de la cola en el supermercado.
Si $k=1$ la respuesta es trivial: Todos los grupos son de género equilibrada. Por lo tanto, vamos a asumir que $k>1$.
Asumir Samuel y Samantha estaban enfermos el día en que los grupos se formó originalmente. Si los dos Sams son asignados a los grupos de forma aleatoria, el resultado es, como si no hubiera ninguna enfermedad.
Si Sam y Sam son asignados al mismo grupo (lo cual ocurre con probabilidad de $\frac1k$ si la distribución es uniforme, con otras distribuciones, su kilometraje puede variar), vemos que por la simetría que los más chicos es exactamente tan probable como que más chicas para este grupo.
Si Sam se asigna a un grupo distinto de Sam (lo cual ocurre con probabilidad de $1-\frac1k>0$ en el uniforme caso, pero en realidad debemos asumir que la probabilidad es $>0$), luego de tres casos son posibles:
El grupo era de balance de género antes de que con cierta probabilidad de $p$, dicen (claramente, $p>0$, aunque el valor exacto depende del tamaño del grupo).
O el grupo había más hombres de los miembros.
Por simetría, las probabilidades de los dos últimos eventos son iguales, por lo tanto se $\frac{1- p}2$ cada uno. Entonces la probabilidad de que el grupo , incluyendo a Sam tiene más personas del mismo sexo como Sam es, al menos,$p+\frac{1- p}2=\frac{1+ p}2>\frac12$.
En total, es más probable encontrar a sí mismo en un grupo con más personas de las propias del género que con menos. Esto vale tanto para Sam=Samual y Sam=Samantha.
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