Mostrando que $\sum_{n=1}^\infty \frac{x}{n(1+nx^2)}$ Converge Uniformemente a través de la M de Weierstrass-prueba

Question

Configuración: Vamos a $f_n(x):\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ s.t.

$$ f_n(x) = \frac{x}{n(1+nx^2)} $$

y deje $f$ denotar la serie de la $\{f_n\}$:

$$ f(x) = \sum_{n=1}^\infty f_n = \sum_{n=1}^\infty \frac{x}{n(1+nx^2)} $$

Estoy tratando de mostrar que $\{\sum_{n=1}^n f_n\}$ es uniformemente convergente a $f$. Suponiendo que no me equivoco, a continuación, he mostrado el resultado deseado a a $|x| \ge 1$. Pero no estoy seguro de cómo proceder en caso de $|x| < 1$.

Intento en caso de $|x| \ge 1$:

1. Deje $x \in \mathbb{R}$ satisfacer $|x| \ge 1$.

2. A continuación, considere la posibilidad de que

   $$ \left| \frac{x}{n(1+nx^2)} \right| = \left| \frac{x}{n+n^2x^2} \right| \le \frac{|x|}{n^2x^2} = \underbrace{\frac{1}{|x| n^2} \le \frac{1}{n^2}}_{\text{ haciendo uso de $|x| \ge 1$}} $$

3. Desde $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} < 2$ (de cálculo), tenemos que $\sum_{n=1}^\infty \frac{x}{n(1+nx^2)}$ converge uniformemente por el Weierstrass M-test (con la $\{1/n^2\}$ actúa como $\{M_n\}$ usando la notación desde el link).

Pero este argumento no funciona en el caso de $|x| < 1$ (marcados en la desigualdad). Hay una solución simple, en mi desigualdad razonamiento que me lleva al resultado deseado?

Answer 1

No hay necesidad de dividir el problema en dos casos. En lugar de ello, acaba de darse cuenta de que $$ f_n(x) = \frac{x}{n(1+nx^2)}\implica f'_n(x)={1-nx^2\sobre n(1+nx^2)^2}=0 \text{ si } x=\pm{1\over \sqrt{n}}, $$ y estos maximizar $|f_n(x)|$. Así que tome $$ M_n=\left|f_n\left(\pm {1\over \sqrt{n}}\right)\right|={1\over 2n^{3/2}}>0. $$ Entonces $$\sum_{n=1}^\infty M_n={1\over 2}\sum_{n=1}^\infty {1\over n^{3/2}} $$ que converge, ya que es un $p$de la serie a con $p=3/2>1$. Por el Weierstrass $M$-Prueba, $$ \sum_{n=1}^\infty f_n(x) $$ converge uniformemente.