No del todo. Pensar en los vértices de un cuadrado; un alto y estrecho elipse pasa a través de ellos, pero hasta hace un corto y ancho de la elipse. Así que usted no consigue singularidad.
Cuando usted (naturalmente) pregunte sobre 5 puntos, resulta que no hay una única cónica que contiene cinco puntos...pero no es necesariamente una elipse, incluso si los puntos que forman un bonito conjunto convexo. Por qué? Creo que de 5 puntos en una parábola. La única cónica que se adapta a estos es...que la parábola! Así que no hay elipse que pasa a través de ellos.
El espacio proyectivo de cónicas es una fascinante introducción a la geometría algebraica. El libro sobre Geometría Proyectiva por Pierre Samuel es una muy buena introducción si sus otras habilidades matemáticas son sólidos como una roca, pero "otros" incluye álgebra abstracta en este caso, por lo que va a ser un tiempo antes de que esté listo para leer.
Post-comentario comentarios
Permítanme añadir otro comentario aquí, que se refiere a la geometría proyectiva cosa. Supongamos que
$$
H_1(x, y) = Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F
$$
y que los cuatro puntos $(x_i, y_i)$, $i = 1, 2, 3, 4$, tienen la propiedad de que
$$
H_1(x_i, y_i) = 0 (i = 1, 2, 3, 4).
$$
Entonces la ecuación
$$
H_1(x, y) = 0
$$
define una cónica que contiene los cuatro puntos.
Ahora supongamos que $H_2$ es otro ejemplo de polinomio (de segundo grado en $x$$y$) y que la ecuación de $H_2(x, y) = 0$ está satisfecho con los mismos cuatro puntos. (Creo que de $H_1 = 0$ como la definición de la elipse de color rojo en @muaddib la respuesta, y $H_2 = 0$ como definir el azul.)
Entonces para cualquier $t$, el polinomio
$$
Q_t(x, y) = (1-t) H_1(x, y) + t H_2(x, y)
$$
también es cero en los cuatro puntos. Así, en el "espacio de todas las cónicas", si dos cónicas $C_1$ $C_2$ pasan a través de cuatro puntos, así como todos los cónicos en la "línea entre el $C_1$ $C_2$" (es decir, aquellos que, como $Q_t$ anterior).
Para cerrar el argumento:
En general, si usted tiene cuatro puntos de $P_1, P_2, P_3, P_4$, y que se sitúan en una elipse, $E$, usted puede escoger un 5to punto, decir $R_0$, no está cerca de ninguna de las $P_i$, que también en esa elipse. Ahora puede mover los $R_0$ muy ligeramente para obtener un nuevo punto de $R_1$, y considerar la cónica $C$ pasa a través de
$$
P_1, P_2, P_3, P_4, R_1.
$$
Si $R_1$ es lo suficientemente cerca como para $R_0$, entonces la cónica $C$ está muy cerca de la elipse original, y por lo tanto debe ser también una elipse (una instrucción que debe probar, por cierto-no es en absoluto obvio!).
Pero ahora usted puede tomar el cuadrática para $E$, decir $H_1$, y la cuadrática para $C$, decir $H_2$, y la combinación como $(1-t)H_1 + tH_2$ donde $t$ es cualquier número real, para conseguir otra cónica que pasa a través de los cuatro puntos, por lo que hay una infinidad de cónicas que pasan por estos puntos. Por el mismo argumento como el anterior, "no es en absoluto evidente" -- infinitamente muchas de estas cónicas también debe ser elipses.
En resumen: no, ni siquiera en el caso de que los cuatro puntos están en posición convexa" y hay una elipse a través de ellos, siempre hay otra elipse a través de ellos, y, de hecho, infinitamente muchos otros.
