Para la parte 1, has determinado correctamente que las coordenadas esféricas de un punto en la esfera son $2a \sin \phi \sin \theta.$ (No escribes el factor de $a$ pero asumo que estás escalando la región hacia abajo por ese factor y que estás escalando adecuadamente tu resultado.)
El problema es que ahora estás calculando el volumen completo de la esfera, cuando en realidad solo deberías encontrar el volumen de la semiesfera entre los planos $y=0$ y $y=a.$ Para las cuerdas de la esfera que pasan a través del disco $x^2 + z^2 \leq a^2$ en el plano $y = a,$ estás integrando sobre toda la longitud de la cuerda cuando realmente deberías integrar solo sobre la parte para la cual $y \leq a.$
Si vas a hacer esto con coordenadas esféricas alrededor del eje $z$, significa dividir tu región de integración en dos partes de una manera algo complicada. Para $\theta$ tal que $cos^2\theta \geq \frac{1-2\cos^2\phi}{2\sin^2\phi}$ (si he hecho el cálculo correctamente--deberías verificar esto), puedes integrar sobre la esfera como estás haciendo. Pero para otros $\theta$ quieres integrar sobre un cono circular recto cuya base está en el plano $y=a.$ Para esa región, el rango de $\rho$ es de $\rho = 0$ a $\rho = \frac{a}{\sin\phi\sin\theta}.$
Esto es mucho más fácil si tomas coordenadas esféricas alrededor del eje $y$ en lugar del eje $z$. Si $\phi$ se mide desde el eje $y$ entonces $\theta$ ya no aparece en la ecuación de la esfera; $\rho$ está limitado por el plano $y=a$ cuando $0 \leq \phi \leq \frac\pi4$, y $\rho$ está limitado por la superficie de la esfera para $\frac\pi4 \leq \phi \leq \frac\pi2.$ Probablemente haya un motivo para este ejercicio más allá de solo obtener la respuesta (¡ya que la respuesta es tan fácil de obtener sin hacer ninguna integración en absoluto!), así que tendrás que decidir cómo hacerlo, pero si se especificaron "coordenadas esféricas" sin especificar el eje, quizás esta sea una simplificación aceptable. (Quizás el punto es entender la diferencia que hace elegir un eje apropiado para las coordenadas esféricas, en cuyo caso el eje $y$ probablemente sea la elección deseada!)
Para la parte 2, el cono consiste simplemente en todos los puntos para los cuales $\phi=\alpha.$ El interior del cono son todos los puntos donde $\phi<\alpha.$ (En este caso $\phi$ se mide desde el eje $z; cualquier otra cosa haría que esta integración fuera mucho más difícil, creo.) Debería ser bastante obvio cómo afecta esto a la región de integración. El rango de $\rho$ sigue siendo de $0$ a $2a \sin \phi \sin \theta,$ como determinaste anteriormente, y aún puedes tomar $\theta$ desde $0$ hasta $\frac\pi2.$ Creo que la principal diferencia es que tomas $\phi$ solo de $0$ a $\alpha$; además, a menos que se tratara de un cono de doble punta, esta integral cubriría la mitad del volumen (que está todo por encima del plano $x,y$ junto con el cono), por lo que solo multiplicarías por dos en lugar de por cuatro. Sin embargo, si el cono es de doble punta, aún tendrías la simetría de las cuatro vías y seguirías multiplicando por cuatro.
Para la parte 3, la gráfica de $y^2 = x$ en el plano $x,y$ es como se muestra en la figura de abajo (cortesía de https://www.desmos.com/calculator, una herramienta muy útil para recordar). También se muestran las líneas $x=0$ y $x=2; la región delimitada por todas estas curvas debería ser bastante clara.
![gráfica de la parábola y^2=x y las líneas x=0 y x=2]()
