Calcular $\sqrt{\frac{1}{2}} \times \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}} \times \ldots$

Question

$$\sqrt{\frac{1}{2}} \times \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}} \times \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+ \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}}} \veces\ldots$$

Ya sé que una forma de calcularlo:

$\cos{\frac{\pi}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}}, \frac{\pi}{4} = x$

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}} = \sqrt{\frac{1+\cos{x}}{2}} = \cos{\frac{x}{2}}$

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+ \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}}} = \cos\frac{x}{4}$

Por lo tanto se convierte en

$P(n) = \cos{\frac{x}{2^n}}\cos{\frac{x}{2^{n-1}}} \cdots \cos{x}$

$P(n) = \frac{2\sin{\frac{x}{2^{n-1}}}\cos{\frac{x}{2^{n-1}}}\cos{\frac{x}{2^{n-2}}} \cdots\cos{\frac{x}{2}}}{2\sin{\frac{x}{2^{n-1}}}}$

$2\sin{x}\cos{x} = \sin{2x}$

$\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\sin{2x}}{2^n\sin{\frac{x}{2^{n-1}}}}$

$\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\sin{2x}}{2x}$

$\frac{2\sin\frac{\pi}{2}}{\pi} = \boxed{\frac{2}{\pi}}$

Ahora, estoy buscando otra solución, por favor comentar.

Answer 1

(Solución por OP en cuestión: convierte a un wiki de la comunidad de respuesta)

Ya sé que una forma de calcularlo:

$$\cos{\frac{\pi}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}}, \frac{\pi}{4} = x$$

$$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}} = \sqrt{\frac{1+\cos{x}}{2}} = \cos{\frac{x}{2}}$$

$$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+ \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}}} = \cos\frac{x}{4}$$

Por lo tanto se convierte en

$$P(n) = \cos{\frac{x}{2^n}}\cos{\frac{x}{2^{n-1}}} \cdots \cos{x}$$

$$P(n) = \frac{2\sin{\frac{x}{2^{n-1}}}\cos{\frac{x}{2^{n-1}}}\cos{\frac{x}{2^{n-2}}} \cdots\cos{\frac{x}{2}}}{2\sin{\frac{x}{2^{n-1}}}}$$

$$2\sin{x}\cos{x} = \sin{2x}$$

$$\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\sin{2x}}{2^n\sin{\frac{x}{2^{n-1}}}}$$

$$\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\sin{2x}}{2x}$$

$$\frac{2\sin\frac{\pi}{2}}{\pi} = \boxed{\frac{2}{\pi}}$$

Answer 2

Así, probablemente la forma más fácil de derivar este resultado es emplear el mismo método como su creador, François Viète. Comenzó con un círculo de radio 1 y la inscripción de un cuadrado cuya área denominaremos a $A_0 = 2$. Ahora vamos a $A_k$ ser el área del polígono regular inscrito con $2^{k+2}$ lados. Desde $\lim_{k\to\infty}{A_k} = \pi$, tenemos que, por un lado, $$\prod_{k=0}^{\infty}\frac{A_k}{A_{k+1}} = \frac{2}{\pi}.$$ Por otro lado, al darse cuenta de que $\frac{A_0}{A_1} = \sqrt{\frac{1}{2}}$, $\frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}}$, etc. tenemos que $$\frac{2}{\pi} = \sqrt{\frac{1}{2}}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}}...$$

La historia de este producto, y de Viète, es realmente muy interesante. Este es, a mi mejor entender, la primera escrita explícitamente proceso infinito en todas las de las matemáticas. Realmente es un corolario de las ideas de Arquímedes, pero Arquímedes carecían de la capacidad para escribir una fórmula explícita para un infinito de expresión. De todos modos, si usted está interesado, usted debe comprobar fuera de Viète del Variorum de rebus mathematicis responsorum liber VIII, que está disponible gratuitamente desde Google. Está lleno de curiosidades geométricas. Esta fórmula es en una nota para el Corolario 2 de la Proposición 2 del Capítulo 18.