Demostrando una función está bien definida

Question

La cuestión es que estoy trabajando en la pregunta:

Deje $J_4 =\{0,1,2,3\}$. A continuación,$J_4 −\{0\}=\{1,2,3\}$. Estudiante C intenta definir una función S: $J_4 -\{0\}\to J_4 -\{0\}$ como sigue: Para cada una de las $x \in J_4 - \{0\}$, $S(x)$ es el número de $y$, de modo que $(xy) \bmod 4 = 1$. Estudiante F afirma que $S$ no está bien definido. Quién tiene la razón: el estudiante C o estudiante D? Justificar su respuesta.

Tengo varias preguntas:

1. ¿Cuál es la relevancia de $J_4 - \{0\}$ ? Veo que elimina $0$ a partir de la lista de elementos, pero esta notación se me confunde. No estoy seguro exactamente lo que hace, y parece estar hecho dos veces (Véase la función $S$).

2. ¿Subíndice en $J_4$ media $\bmod 4$ nada en el set?

3. La declaración "$S(x)$ es el número de $y$, de modo que $(xy) \bmod 4 = 1$" también es confuso para mí. $x$ sigue siendo el de entrada y $y$ es el resultado de la función$S$, ¿verdad?

4. Para mostrar que esto está mal definida requeriría que muestra que para un $x$, hay múltiples $y$, haciendo que esta no es una función. Está bien definido que yo tendría que hacer lo contrario, ¿verdad? Para un problema como este, debería empezar a conectar los números y ver qué pasa, o es que hay un enfoque sistemático que debo tener en cuenta?

Answer 1

1. Si usted mantenga $0$ en el conjunto, entonces $S(x)$ es indefinido, y eso es porque no hay ningún número $y$ tal que $(xy) \mod 4 =1$, porque eso significaría que $(0y) \mod 4 =1$, es decir, que $0 \mod 4 =1$, lo cual es falso.

2. No podemos saber por qué poner el$4$$J_4$; es sólo un índice que normalmente sirve para diferenciar a que $J$ a partir de otros conjuntos de $J$ ... no tiene otro significado. Mi conjetura es que se usa el $4$ para indicar que tiene 4 elementos, pero de nuevo, nada es forzado, que bien podría haber utilizado $J_5$

3. Sí, x es la entrada y y es la salida. Así, por ejemplo, para $x=1$, consigue $y=1$, ya que es la única y para los cuales $(xy) \mod 4 = 1$, lo $S(1) =1$

4. De continuar con la idea en 3: ¿qué es $S(2)$, es decir, lo que es 'el' $y$ tal que $(2y) \mod 4 = 1$? Bien, no hay tal y! Por lo tanto, este valor de la función no está definida. Y, ya que normalmente los valores de la función a ser definido, podríamos decir que esta es una mala definición de la función.

Answer 2

1) "$J_4 - \{0\}$" describe un conjunto. No significa "quitar $\{0\}$$J_4$. Es equivalente a la definición de $X = J_4 - \{0\}$ y, a continuación, el uso de $X$ en ambos lugares

2) No. Yo creo que es sólo un nombre.

3) Que es la correcta.

4) Una función está bien definida si es ambiguo lo que el resultado debe ser, o ( creo ) si la salida no está en el rango, o no hay salida para algunos de entrada dada. Así, por ejemplo, " $S(x)$ es el mayor entero mayor que el $x$" está mal definida. Como es "$S(x)$ es el número de $y$ tal que $y$ divide $x$".

Answer 3

1.) Aprovecho $J_4-\{0\}$ en este contexto, sólo decir $J_4 \setminus \{0\}$, que es más común la notación de la teoría de conjuntos, yo.e $J$ "menos" $\{0\}$. No parece haber ninguna ambigüedad aquí.

2.) No, esto es estándar (más o menos) la notación para $J_n=\{0,1,2,...,n-1\}$, lo que le ha $n$ elementos. El Modulo es entonces una relación que se podría invocar en el set. Así que podemos decir que estamos "de contar en la $\mathbb{Z}_4=\{0,1,2,3\}$". Por lo general, se refieren a contar modulo $4$, en la que sólo el uso de los números en $\mathbb{Z}_4$. (Para ser formal define estas cosas usando clases de equivalencia, sino que es algo fuera de alcance.)

3.) Entiendo cómo puede sonar confuso, pero sí, es exactamente como está escrito (supongo que, por supuesto, yo no escribo). Por lo $S(x)=y$.

4.) Si usted piensa acerca de esto por un tiempo, ¿qué es $S(1)$? Sólo puede ser enviado a cualquiera de los elementos en $J_4\setminus \{0\}$, yo.e a de $1,2,3$. Pero, ¿qué número(s) $y$ tiene la propiedad de que $(xy)=1 \mod 4$? En conclusión, de que no está bien definido se refiere a que no está definida para todos los elementos de su dominio, yo.e $J_4\setminus \{0\}$ en este caso.

Espero que esto ayude.