Adecuada de los ideales generados por la central ideales

Question

Deje $R$ ser un unital anillo y denotar su centro por $Z(R)$. Si $I$ es un ideal de a $Z(R)$, entonces el conjunto $RI$ (que consta de finito de sumas de los elementos de la forma ra donde:$r\in R$$a\in I$) es claramente un ideal de a $R$.

Mi pregunta es la siguiente:
Si $I$ es un buen ideal de $Z(R)$ $RI$ necesariamente una adecuada ideal de $R$?

La prueba de que yo tenía en mente no parecen funcionar, y ahora estoy sospechando que la respuesta es negativa. ¿Hay alguna agradable e intuitiva contra-ejemplos?

Answer 1

Soy nuevo en el no-conmutativa de álgebra, pero tal vez el siguiente contraejemplo obras. Tome la no conmutativa polinomio anillo de $k<X,Y,Z>$ sobre un campo $k$, y el mod a cabo por las siguientes relaciones: $XZ-ZX, YZ-ZY,$$XZ+YZ-1$. Supongo que por el mod a cabo por estas relaciones me refiero a ir modulo las dos caras ideal generado por estos tres elementos, y denotan el cociente del anillo de $R$. Entonces el centro es $Z(R)=k[Z]$. Tome $I=(Z) \subsetneq Z(R)$. Sin embargo, tenemos $RI=R$ porque $XZ+YZ=1$.