Encontrar la suma de $\sum _{ k=1 }^{ 100 }{ \frac { k\cdot k! }{ { 100 }^{ k } } } \binom{100}{k}$

Question

Encontrar la suma de $$\sum _{ k=1 }^{ 100 }{ \frac { k\cdot k! }{ { 100 }^{ k } } } \binom{100}{k}$$

Cuando le pregunté a mi maestro, ¿Cómo puedo resolver esta cuestión . Él respondió que es muy duro usted no puede resolver . Espero que usted me puede ayudar en la solución y comprensión de la pregunta

Answer 1

\begin{align} \sum\limits_{k=1}^{100} \frac {k\cdot k!}{100^k} \frac{100!}{k!(100-k)!} &= \frac{100!}{100^{100}} \sum\limits_{k=1}^{100} \frac{k\cdot100^{100-k}}{(100-k)!}\\ &= \frac{100!}{100^{100}} \sum\limits_{k=0}^{99}\frac{(100-k)\cdot 100^k}{k!}\\ &=\frac{99!}{100^{99}} \sum\limits_{k=0}^{99} \left( \frac {100^{k+1}}{k!} - \frac{100^k}{(k-1)!}\right)\\ &= \frac{99!}{100^{99}} \left(\frac{100^1}{0!}+ \sum\limits_{k=1}^{99} \frac {100^{k+1}}{k!} - \sum\limits_{k=0}^{98} \frac{100^{k+1}}{k!}\right)\\&= \frac{99!}{100^{99}} \left(\frac{100^1}{0!}+ \frac{100^{100}}{99!} + \sum\limits_{k=1}^{98} \frac {100^{k+1}}{k!} - \sum\limits_{k=1}^{98} \frac{100^{k+1}}{k!} -\frac{100^1}{0!} \right)\\ &= 100 \end{align}

Answer 2

Estoy re-edición de un-rodin respuesta, la corrección de algunos errores tipográficos [de una versión anterior, ahora editado].

\begin{align} \sum\limits_{k=1}^{100} \frac {k\cdot k!}{100^k} \frac{100!}{k!(100-k)!} &= \frac{100!}{100^{100}} \sum\limits_{k=1}^{100} \frac{k\cdot100^{100-k}}{(100-k)!}\\ &= \frac{100!}{100^{100}} \sum\limits_{k=0}^{99}\frac{(100-k)\cdot 100^k}{k!}\\ &=\frac{100!}{100^{100}} \sum\limits_{k=1}^{99} \left( \frac {100^{k+1}}{k!} - \frac{100^k}{(k-1)!}\right)+\frac{100!}{100^{99}}\\ &= \frac{100!}{100^{100}} \left( \sum\limits_{k=1}^{99} \frac {100^{k+1}}{k!} - \sum\limits_{k=0}^{98} \frac{100^{k+1}}{k!}\right)+\frac{100!}{100^{99}}\\&= \frac{100!}{100^{100}} \left( \frac{100^{100}}{99!} + \sum\limits_{k=1}^{98} \frac {100^{k+1}}{k!} - \sum\limits_{k=1}^{98} \frac{100^{k+1}}{k!} -\frac{100^1}{0!} \right)+\frac{100!}{100^{99}}\\ &= 100-\frac{100!}{100^{99}}+\frac{100!}{100^{99}}=100. \end{align}