¿Cómo se imagina la forma de un colector $S^2 \times S^1$?

Question

En 3-dimensiones del colector de la teoría, me he encontrado con el colector $S^2 \times S^1$ muchas veces. (La siguiente historia puede ser aplicada no sólo a este colector, sino también en 3 dimensiones múltiples.)

Pero yo no tengo ningún geométricamente o topológicamente imagen del colector en mi cabeza. ¿Cómo lidiar con este las dificultades? Hay una buena manera de imaginar el colector en mi cabeza?

Desde $S^1$ es una unión de un intervalo y un punto, sé que es una gruesa esfera identificado el límite interior con el límite exterior. Pero Todavía no está claro.

O usted acaba de tratar el colector de manera algebraica, sin aparecer ninguna intuición geométrica?

Agradezco cualquier ayuda o sugerencia. Gracias de antemano.

Answer 1

Cualquier producto colector $M \times N$ puede ser visualizado como un espacio de configuración de un par de partículas, uno de los cuales viaja en $M$ y uno de los que viaja en $N$. Por lo $S^2 \times S^1$ puede ser visualizado como el espacio de configuración de un par de partículas, uno de los cuales se desplaza sobre una esfera y uno de los que viaja en un círculo.

Hay una alternativa de visualización de la siguiente manera. Primero que uno piensa de $S^2 \times I$ como un engrosamiento de la esfera (como $3$-dimensiones del anillo), con un límite interior de la esfera $S^2 \times \{ 0 \}$ y un límite exterior de la esfera $S^2 \times \{ 1 \}$. A continuación, se identifican los dos límites. (Edit: no me di cuenta de que ya había hablado acerca de esta visualización. Creo que puede ser útil).

En general, es probable que diferentes personas tendrán diferentes cosas de diferentes visualizaciones. Utilizar lo que funciona para usted.

Answer 2

Como Qiaochu Yuan y Mariano Suárez-Alvarez, dijo, me parece la manera más fácil de pensar de $\mathbb{S}^2\times \mathbb{S}^1$ es como un engrosamiento de la esfera con dos identificado componentes del borde.

En este sentido, también se podría pensar de $\mathbb{S}^2\times\mathbb{S}^1$ $(\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}) / \mathbb{Z}$ donde $\mathbb{Z}$ actos de la traducción en el segundo factor. Es fácil visualizar $\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$ --- es sólo un pinchazo en un $\mathbb{R}^3$.

A veces, sin embargo, me parece útil pensar en las $\mathbb{S}^2\times\mathbb{S}^1$ (degenerado) de la lente de espacio, obtenido por el encolado de dos sólidos torii a través de la asignación de identidad de clase de $T^2$. Desde un disco pegado a un disco le da una esfera y la identidad envía meridiano a meridiano, pegado de compresión de discos a lo largo de sus fronteras, se puede ver que este le da a una familia de esferas parametrizadas por un círculo.

Answer 3

Uno puede "imaginar" como un 4-dimensional de "toro", formada por "giran" una esfera en 4D espacio en un toro-como la forma de cuya perpendicular (el círculo de la revolución) secciones transversales son esferas (o pares de esferas). La superficie de dicho "toro", para ser precisos, que tiene 3 dimensiones. A pesar de que uno realmente no puede visualizar 4D. Otra forma de hacerlo es imaginar un espacio que es de "esfera" en 2 dimensiones (es decir, que se mueve en estos dos dimensiones sólo es como moverse en la superficie de una esfera), y "lineal" (como 3D convencional/"plana" espacio) en la tercera, pero de manera tal que después de viajar de un número finito de distancia a lo largo de la tercera, al final a la derecha de nuevo donde empezamos, a pesar de que las otras dos dimensiones tienen esta propiedad pero la geometría es tal que viaja en ellos es como viajar en una esfera, pero para viajar en uno de estos, y viajar en la tercera, es como viajar en un toro.

Tenga en cuenta que $S_1 \times S_1$ puede ser pensado como un toro a través de la misma manera: pensar de un círculo, que giraba sobre un eje, no cruzar a través de ella, y en su propio plano.

Answer 4

Una gruesa esfera con sus dos límites de los componentes identificados.

Answer 5

Funciona para usted geométricamente, cuando usted ve $A \times B$, la imagen de los dos espacios sucediendo a la vez, pero por separado? Como cada mano podía controlar.

Por ejemplo, imagínese que tiene dos discos en paralelo. Podrían ser dos palancas que, conjuntamente, de control de un robot o de chorro plano o demolición de bola y así sucesivamente. (El eje que sale a su lado no es el modelo.) Por ejemplo el acelerador a fondo en un avión es $(0,1)$ como es la dirección en un barco; un cabrestante, un torno y un carrete de se $S^1$; y un engranaje-palanca de velocidades en un automóvil se mueve en un ramificada 1-D de la estructura con 0.

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Vamos a pensar en ello, creo que un piloto de avión de la horquilla se mueve no sólo en un disco, pero de ida y vuelta, y se puede activar.

En cualquier caso, si hubiera una mano en un torno $S^1$ y la otra mano en un trackpad $S^2$, luego de su control conjunto podría ser $S^1 \times S^2$.