Todo lo contrario: Los armónicos esféricos son funciones propias del operador de momento angular $L^2$ que provienen de la ecuación de Schrödinger (SE). Si quieres ver cómo se pasa de la SE a los armónicos esféricos, te sugiero que cojas un texto de introducción a la Mecánica Cuántica - es una tarea demasiado grande para emprenderla aquí.
Editar para responder a la edición de OPs:
SE (en la base propia) es $$\hat{H}\psi=E\psi,$$ donde $\hat{H}$ es el hamiltoniano. El hamiltoniano es un operador (que es no un número, sino más bien una matriz... esa es la razón del "sombrero") que básicamente especifica qué sistema se está viendo. Muchos problemas en QM van como "escribir $\hat{H}$ para el sistema en cuestión, entonces resuelve SE".
Ahora, $\hat{H}$ es especial porque los valores propios asociados a él son los estados de energía permitidos para el sistema, lo que determina su comportamiento. Como ya sabrás, la energía de un sistema puede dividirse en energía cinética $\hat{T}$ y la energía potencial $\hat{V}$ . Por lo tanto, podemos escribir $\hat{H}=\hat{T}+\hat{V}$ . Esta es la conexión con los armónicos esféricos: Siempre que $\hat{V}$ es esféricamente simétrico (y SE es separable), las funciones propias $\psi$ de $\hat{H}$ tendrá una parte polar. Esta parte polar es precisamente los armónicos esféricos . Este es el caso, por ejemplo, del famoso ejemplo de el átomo de hidrógeno .
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¿Quieres decir al revés, cómo se derivan los armónicos esféricos de Schrodinger?
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@ReneSchipperus Eso parece.
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physics.stackexchange.com/questions/278571/
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Respuesta corta: Los armónicos esféricos son (la parte angular de) soluciones a una cierta clase de ecuaciones diferenciales. Con un potencial central, la ecuación de Schroedinger pertenece a esa clase. En particular, el átomo de hidrógeno clásico (es decir, mecánico cuántico y no relativista) tiene un potencial radial $V(r) = 1/r$ por lo que los armónicos esféricos aparecen como cáscaras de electrones.