Si $M$ es un nonorientable $3$-colector, ¿por qué es $H_1(M, \mathbb{Z})$ infinito?

Question

Deje $M$ ser una compacta conectada $3$-colector con límite de $\partial M$. Si $M$ es nonorientable y $\partial M$ está vacía, entonces ¿cómo puedo ver que $H_1(M, \mathbb{Z})$ es infinito?

Answer 1

Cada impar dimensiones del colector ha fuga de Euler característica, por lo que $$0 = \chi(M) = b_0 - b_1 + b_2 - b_3.$$ We have $b_0 = 1$, and $b_3 = 0$ since $M$ is nonorientable. Hence, $b_1 > 0$ and thus $H_1(M, \mathbb{Z})$ es infinito.