Como user40276 dijo, se necesita una representación para hacer esto construcciones. Si usted desea considerar campos adicionales, necesitas varios de esos. Sin duda soy ningún experto en este campo, pero yo a tratar de arrojar algo de luz sobre la representación basada en construcciones y esperemos que esto lleva a algunos de su confusión.
Dada una representación $\rho: G \rightarrow Aut(V)$ $G$ en algunas de espacio vectorial $V$ asociado un vector paquete de $E$ se construye a través de $E=P\times_\rho V := \; ^{\textstyle{P \times V}}\big/_{\textstyle{\sim}}$ donde $(p,v)\sim(p\cdot g,\rho^{-1}(g)\cdot v)$ algunos $g\in G$.
Un vector de valores de forma $\alpha\in\Omega^k(P,V)$ se llama $G$-equivariant iff $(R_g)^*\alpha = \rho(g^{-1})\cdot\alpha$ tiene $\forall g\in G$ (aquí se $R_g$ es el derecho de acción de $G$$P$). Dado un principio de conexión $\omega$$P$, podemos definir un exterior derivada covariante en equivariant formas como
$$
D\alpha = d\alpha + \omega \wedge_\rho \alpha,
$$
donde la cuña de producto se define como de costumbre, como anti-symmetrised producto, donde la "multiplicación" es ahora el punto de sabio acción de $\rho_*\circ\omega: TM\rightarrow End(V)$.
Como un ejemplo, considere el adjunto representación $Ad: G\rightarrow Aut(\mathfrak g)$. A continuación, $\omega$ es un equivariant 1-forma con respecto a la adjoint representación y el exterior de la derivada covariante es
$$
D\alpha = d\alpha + [\omega \wedge \alpha],
$$
que muestra Cartan de la estructura de la ecuación de la curvatura: $\Omega = D\omega = d\omega + [\omega \wedge \omega]$.
Tenga en cuenta que un equivariant $k$forma $\alpha$ puede identificarse con un vector paquete de valores de forma $\bar\alpha\in\Omega^k(M,E)$ a través de la fibra sabio identificación de $i_p: V\rightarrow E_{\pi(p)}, v\mapsto [p,v]$ y la elevación horizontal de campos vectoriales en $M$. Concretamente, se han
$$
\bar\alpha_x(X_1,\dots,X_k)=i_p\circ\alpha_p(\tilde X_1,\dots\tilde X_k),
$$
donde la tilde indica horizontal de los ascensores de los campos vectoriales y $x=\pi(p)\in M$.
Entonces, una conexión de $\omega$ $P$ induce una conexión afín $\nabla^\omega$ $E$ a través de la relación
$$
\nabla^\omega \bar\alpha = \overline{D\alpha}.
$$
Por supuesto, $\nabla^\omega$ da lugar a un tensor de curvatura $R^\omega\in\Omega^2(M,End(E))$.
Vamos a volver considerar el medico adjunto de la representación. El asociado paquete se llama el medico adjunto bundle $Ad(P)$. En este caso nos encontramos con dos tensores de curvatura: en Primer lugar, la barra de mapa identifica equivariant formas de adjoint tipo, como $\omega$ $\Omega=D\omega$ $Ad(P)$valores de las formas en $M$, con lo que conseguimos $F^\omega:=\bar{\Omega}\in\Omega^2(M,Ad(P))$. En segundo lugar, tenemos la inducida por la conexión afín $\nabla^\omega$ $Ad(P)$ y por lo tanto tenemos un tensor de curvatura $R^\omega\in\Omega^2(M,End(Ad(P)))$. Estos dos son en realidad los mismos objetos desde $ad=Ad_*: \mathfrak g \rightarrow End(\mathfrak g)$ ascensores de un paquete de mapa de $Ad(P)\rightarrow End(Ad(P))$.
Por puro Yang-Mills teoría, necesitamos un $G$-equivariant producto interior en $\mathfrak g$, es decir,$\langle Ad_gX, Ad_g Y\rangle = \langle X, Y\rangle$, o en otras palabras, un conjunto de métricas en $Ad(P)$. De esta manera podemos definir la cuña de productos en $\Omega(M,Ad(P))$ y un dual de Hodge y construir el Yang-Mills funcional.
Campos escalares son modelados como secciones de asociado un vector paquete de $E$ con respecto a una representación de la $G$. La diferenciación covariante funciona como se introdujo anteriormente. Spinor campos son un poco más complicadas, que son secciones de $S\otimes E$ donde $S$ es un spinor paquete de más de $M$, es decir, asociado a un vector paquete de la vuelta marco de paquete de más de $M$. En ambos casos, necesitamos una vez más un paquete de métricas para construir formas bilineales para el Lagrangiano.
