Problema 2.2.36 de Hatcher

Question

He estado luchando con la siguiente pregunta (2.2.36) de Hatcher durante bastante tiempo ahora: Mostrar que $H_i(X\times S^n) \simeq H_i(X) \oplus H_{i-n}(X)$. No sé cómo usar la pista dada por Hatcher. He estado intentando usar la secuencia de Mayer-Vietoris cubriendo $S^n$ con dos discos de dimensión $n-1$ y considerando la cubierta obtenida al tomar el producto con $X` pero sin suerte. Por favor ayuda.

Answer 1

Sigamos la pista dada en Hatcher. Supongamos que $x_0\in S^n$.

Afirmación 1: $$H_i(X\times S^n)\approx H_i(X)\oplus H_i(X\times S^n,X\times\{x_0\})$$

Prueba: Dado que $X\times \{x_0\}$ es una retracción de $X\times S^n$ (a lo largo del mapa $r=\mathrm{id}_X\times x_0$), la secuencia larga de homología relativa inducida por $A\overset{i}{\hookrightarrow} X\rightarrow X/A$ se descompone en secuencias exactas cortas divididas

$$0\rightarrow H_i(X\times\{x_0\})\rightarrow H_i(X\times S^n)\rightarrow H_i(X\times S^n,X\times\{x_0\})\rightarrow 0$$

Para ver esto, note que $r\circ i=\mathrm{id}$ implica $r_*\circ i_*=\mathrm{id}$, lo que a su vez significa que el mapa inducido $i_*:H_i(X\times \{x_0\})\rightarrow H_i(X\times S^n)$ es un monomorfismo dividido. Ahora, debido a que la secuencia se divide, $$H_i(X\times S^n)\approx H_i(X\times \{x_0\})\oplus H_i(X\times S^n, X\times \{x_0\})\approx H_i(X)\oplus H_i(X\times S^n, X\times \{x_0\})$$ $\square$

Afirmación 2: $$H_i(X\times S^n,X\times \{x_0\})\approx H_{i-1}(X\times S^{n-1},X\times\{x_0\})$$

Prueba: Elija algún $\epsilon>0$ y descomponga $S^n=U\cup V$ donde $U=\{(x_0,\dots,x_n)\in S^n\,:\,x_0>-\epsilon\}$ y $V=\{(x_0,\dots,x_n)\in S^n\,:\,x_0<\epsilon\}$. Luego, $U,V$ son contractibles y $U\cap V\approx S^{n-1}$. La afirmación ahora sigue por la secuencia de Mayer-Vietoris (relativa). $\square$

Corolario 3: $$H_i(X\times S^n, X\times\{x_0\})\approx H_{i-n}(X)$$

Prueba: Aplique la Afirmación 2 $n$ veces y note que $H_{i-n}(X\times S^0, X\times\{x_0\})\approx H_{i-n}(X)$ (ya que $S^0$ son solo dos puntos). $\square$

Ahora la Afirmación 1 y el Corolario de la Afirmación 2 producen

$$H_i(X\times S^n)\approx H_i(X)\oplus H_{i-n}(X)$$