¿Por qué no $\int\sin(ix)~dx$ igual a $i\cos(ix)+C$ ?

Question

Yo estaba jugando con los números imaginarios, y traté de resolver $$\int\sin(ix)~dx$$ and ended up getting $$i\cos(ix)+C$$

Pero al parecer la respuesta es $$i\cosh(x)+C$$

Me estaba preguntando, ¿es correcto esto? ¿Y qué hace el "$h$ " /media? ¿De dónde venga de. Gracias de antemano.

Answer 1

Aquí hay dos definiciones útiles / relaciones

$$\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$$

$$\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$$

Usando estas definiciones se puede ver que

$$\cos(ix) = \frac{e^{i(ix)} + e^{-i(ix)}}{2} = \frac{e^{-x} + e^x}{2} = \cosh (x)$$

Así que usted hizo conseguir la misma respuesta, pero sólo en una forma diferente.

Answer 2

El uso de $$ \sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2}\quad\text{y}\quad\cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} $$ tenemos $$ \cos(ix)=\cosh(x)\quad\text{y}\quad\sin(ix)=i\sinh(x) $$ Por lo tanto, $$ \begin{align} \sin(x+iy) &=\sin(x)\cos(iy)+\cos(x)\sin(iy)\\ &=\sin(x)\cosh(y)+i\cos(x)\sinh(y)\\ \end{align} $$ y $$ \begin{align} \cos(x+iy) &=\cos(x)\cos(iy)-\sin(x)\sin(iy)\\ &=\cos(x)\cosh(y)-i\sin(x)\sinh(y)\\ \end{align} $$