Encontrar $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{z_k^2}$

Question

Deje $z_1, z_2,\dots, z_k,\dots$ ser todas las raíces de $e^z=z$.

Deje $C_N$ ser la plaza en el avión centrada en el origen con siden paralelo al eje y cada uno de longitud $2\pi N$.

Suponga que $\lim_{N\to \infty\int_{C_N}}\frac{e^z-1}{z^2(e^z-z)}dz=0$

Encontrar $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{z_k^2}$

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Mi intento de solución es demasiado trivial. Así que no escribo aquí. Por favor, resolver la cuestión de manera más explícita. Gracias.

Answer 1

Que nos llame a $f(z) = e^z - z$. Entonces la integral puede ser escrito

$$\int_{C_N} \frac{f'(z)}{z^2 f(z)}\,dz.$$

Si $g$ es holomorphic en $\mathbb{C}\setminus D$ donde $D$ es un cerrado conjunto discreto en $\mathbb{C}$, luego

$$\int_{C_N} g(z)\,dz$$

es $2\pi i$ veces la suma de los residuos de $g$ en los puntos de $D$ que están encerrados por $C_N$ (siempre que ninguno de los puntos de $D$ se encuentra en el contorno de $C_N$).

Aquí, el integrando $\dfrac{f'(z)}{z^2 f(z)}$ tiene singularidades en el $z_k$ y en $0$. El residuo en $z_k$ $\dfrac{1}{z_k^2}$ desde $f$ tiene sólo simple ceros, por lo que

$$\int_{C_N} \frac{f'(z)}{z^2 f(z)}\,dz = 2\pi i \left(\operatorname{Res} \left(\frac{f'(z)}{z^2f(z)}; 0\right) + \sum_{z_k \in S_N} \frac{1}{z_k^2}\right).$$

Puesto que la integral tiende a $0$$N\to \infty$, obtenemos

$$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{z_k^2} = -\operatorname{Res} \left(\frac{f'(z)}{z^2f(z)}; 0\right).$$

Queda por encontrar que el residuo. Desde $f(0) = 1$, tenemos el residuo de $\dfrac{e^z-1}{z^2}$$0$, que se ve fácilmente ser $1$.