Conjunto de Mandelbrot de $c \cdot \cos(z)$

Question

Me ha dado una tarea escribir un programa que determina si un punto dado, $c \in \mathbb{C}$ es en el conjunto de Mandelbrot de la función $$f_c(z) = c \cdot \cos (z)$$ Es decir, si el conjunto de $\{z_n = f_c^n (0) : n \in \mathbb{N}\}$ está acotada.

Con la fórmula estándar $f_c (z) = z^2 + c$, yo sé que, si en algún iteración $n$ $z_n$ es tal que $|z_n| > 2$, $|f_c^n(0)| \rightarrow \infty$ $n \rightarrow \infty$ $c$ no está en el conjunto de Mandelbrot. Pero con la función, me dan, no tengo la menor idea. Hay criterios similares?

Gracias de antemano!

Answer 1

El conjunto de Mandelbrot es esencialmente la bifurcación locus para la cuadrática de la familia $f_c(z)=z^2+c$. Hay aspectos de la iteración de funciones cuadráticas que faciliten el estudio de este particular bifurcación locus pero este es el correcto nivel de generalidad en el que trabajar, si desea ampliarlo a otras familias.

Cuando la iteración de un polinomio, resulta que las órbitas de los puntos críticos (las raíces de la derivada) dominan la dinámica global. Si todos los críticos de las órbitas tienden a $\infty$, entonces el conjunto de Julia es totalmente desconectados. Si todos los críticos órbitas son acotados, entonces el conjunto Julia está conectado. A la hora de estudiar la iteración de la ecuación cuadrática de la familia, comenzamos desde el punto de $z_0=0$ debido a que este es el único punto crítico. El conocimiento de que uno de los críticos de la órbita nos dice mucho acerca de su correspondiente Julia.

Desde una perspectiva más amplia, el punto en el $\infty$ es un ejemplo de un super-atractivo punto fijo y la dicotomía anterior es bastante grueso, la crítica de la órbita converge al infinito o no. En un algo nivel más fino, podríamos preguntarnos ¿qué tipo de periódico comportamientos pueden crítico de la órbita de la pantalla? Es decir, que podríamos recorrer desde el punto más crítico de cero y detener la iteración si la periodicidad es detectado. Tenga en cuenta que esto incluye la posibilidad de convergencia a $\infty$. Luego nos sombra el punto de $c$, según el detectado la periodicidad y la cantidad de tiempo que se tardó en encontrar que la periodicidad. Esto conduce a una imagen del conjunto de Mandelbrot que se ve así:

Ahora, usted está estudiando una familia de funciones, es decir,$g_c(z)=c\cos(z)$. Su función, por supuesto, es no un polinomio; más bien, es toda una trascendental función. Es decir, es derivable en todo el plano complejo, pero no en el infinito. La iteración de funciones ha sido estudiado bastante bien por los investigadores como Devaney, Bergweiler, y Eremenko. Hay similitudes a los polinomios, pero también diferencias cruciales. En particular, el punto en $\infty$ es una singularidad esencial; no hay ninguna razón para considerar la convergencia a $\infty$ como importante. Mientras que el acotamiento de la crítica de las órbitas pueden ser relevantes, esto es principalmente un subproducto del hecho de que estamos interesados en un periódico órbitas que son, por supuesto, limitada. También, hay una infinidad de puntos críticos. Afortunadamente, sólo hay dos valores críticos, $\pm c$, lo cual (por la uniformidad del coseno) tienen idéntica futuros. Por lo tanto, usted podría simplemente recorrer $g_c$ desde cero y clasificar a $c$ de acuerdo con cualquier periodicidad de detectar. Es probable que habrá una gran región donde no hay periodicidad se detecta y se necesita un defecto de color para indicar esta situación. Eso es exactamente lo que me genera la siguiente imagen con el rojo como no periódicas de color:

Tenga en cuenta que esta pregunta tiene mucho en común con este, que también me respondió. Otra respuesta a esa pregunta (que creo que era bastante bueno) sugirió el uso de los exponentes de Lyapunov para clasificar la estabilidad de la crítica de la órbita. Aplicando esta idea a su función, me vino una imagen así: