Relaciones entre AC, Lemma del Ultrafiltro/BPIT, Conjuntos no medibles

Question

¿Cómo es posible conciliar lo siguiente...

En 1970, Solovay construyó el modelo de Solovay, que muestra que es consistente con la teoría de conjuntos estándar, excluyendo la elección incontable, que todos los subconjuntos de los reales son medibles.

Una aplicación no muy conocida del teorema del ideal primo de Boole es la existencia de un conjunto no medible[2] (el ejemplo que se suele dar es el conjunto de Vitali, que requiere el Axioma de Elección). De esto y del hecho de que el IFS es estrictamente más débil que el axioma de elección, se deduce que la existencia de conjuntos no medibles es estrictamente más débil que el axioma de elección.

También, una pregunta similar con respecto a...

El lema del ultrafiltro es equivalente al teorema del ideal primo booleano, siendo la equivalencia demostrable en la teoría de conjuntos ZF sin el axioma de elección. Muchos otros teoremas de la topología general de los que se suele decir que dependen del axioma de elección son, de hecho, equivalentes a BPI. Por ejemplo, el teorema de que un producto de espacios compactos de Hausdorff es compacto es equivalente a él. Si omitimos "Hausdorff" obtenemos un teorema equivalente al axioma de elección completo.

Ahora, la Topología de Janich da una prueba del teorema de Tychonoff completo a partir del lema del ultrafiltro (después de mostrar que el lema de Zorn implica el lema del ultrafiltro). Pero esto no debería ser posible ya que Tychonoff es equivalente a AC y UL es más débil que AC. Entonces, ¿tengo que leer su prueba con más cuidado? ¿todavía está utilizando toda la potencia de AC en otro lugar?

Answer 1

Hay dos pasos en la prueba de ultrafiltro del teorema de Tychonoff que requieren AC. Se toma un ultrafiltro en el producto y este ultrafiltro induce a lo largo de las proyecciones un ultrafiltro en cada espacio componente. Se utiliza el hecho de que estos ultrafiltros convergen por compacidad. Ser capaz de hacer este paso es equivalente al BPI.

Ahora, la convergencia en la topología del producto es equivalente a la convergencia por coordenadas, por lo que se quiere encontrar un punto en el producto al que converja el ultrafiltro original. Esto se consigue eligiendo para cada coordenada un punto al que converja el ultrafiltro inducido. Es aquí donde se necesita toda la fuerza de AC. Para los espacios de Hausdorff, se puede omitir este paso ya que en un espacio de Hausdorff, un filtro no puede converger a más de un punto. Por lo tanto, no hay que hacer elecciones arbitrarias en ese paso.

Answer 2

Ultrafiltros gratuitos en $\mathbb N$ se traducen a conjuntos no medibles de números reales.

Recordemos que los números reales y el conjunto de potencias de los números naturales, y el espacio de Cantor. El espacio de Cantor puede ser dotado de la medida del producto tal que la medida completa es $1$ y la medida es invariante por traslación (en el sentido de modificaciones finitas). Ahora resulta que ésta es en realidad la terminación de la medida de Borel del conjunto de Cantor y es isomorfa, como espacio de medidas, a los números reales y a la medida de Lebesgue.

¿Qué es un ultrafiltro? Es una partición de $\mathcal P(\mathbb N)$ en dos partes, y trasladando un conjunto de enteros a su función característica tenemos una partición del espacio de Cantor en dos partes. La medida completa es uno, y el mapa del complemento $A\mapsto\mathbb N\setminus A$ que es una biyección entre el ultrafiltro y su complemento, preserva la medida. Por lo tanto, el conjunto de Cantor es la unión de dos conjuntos disjuntos de igual medida, que tiene que ser $\frac12$ . Sin embargo, por la ley cero-uno de Kolmogorov tenemos que un ultrafiltro libre tiene que tener medida cero o medida uno si es medible. Dado que $\frac12$ no es ni cero ni uno, tenemos que es un conjunto no medible.

Así que los ultrafiltros libres hacen conjuntos no medibles. En un modelo en el que todos los conjuntos son medibles, no hay ultrafiltros libres y por lo tanto BPIT falla.

En la obra de Herrlich El axioma de la elección , Diagrama 5.10 p. 122 tiene algunos buenos principios que implica la existencia de conjuntos no medibles. No se trata de una cuestión de consistencia, sino de implicaciones reales. Creo que la tesis de Gregory Moore Axioma de elección de Zermelo debería tener un diagrama similar al final del libro, pero no lo recuerdo con seguridad (lo comprobaré y actualizaré mañana).

---

También añadiré que el mismo argumento muestra que los ultrafiltros libres no pueden tener la propiedad de Baire (y, por tanto, en los modelos en los que todo conjunto de números reales tiene la propiedad de Baire tampoco hay ultrafiltros libres).