Supongamos que el grupo de $G$ tiene un subgrupo normal $N$, y que nos
tener presentaciones de $\langle\, Y \mid S\, \rangle$ $N$ y
$\langle\, \overline{X} \mid \overline{R}\, \rangle$ $G/N$ en
grupos electrogenos $Y$$\overline{X}$, respectivamente. Aquí vamos
describir una receta general para la construcción de una presentación de $G$
una extensión de $N$$G/N$.
Para cada una de las $\overline{x} \in \overline{X}$, elija $x \in G$ con
$xN = \overline{x}$, y dejar que $$X := \{\, x \mid \overline{x} \en
\overline{X}\,\}.$$
Entonces, para cualquier palabra $\overline{w} \en
(\overline{X} \cup \overline{X}^{-1})^*$, we can define $w \(X \copa
X^{-1})^*$ with $wN = \overline{w}$, by substituting $x$ or $x^{-1}$ para cada
$\overline{x}$ o $\overline{x}^{-1}$ se producen en $\overline{w}$.
En particular, para cada una de las $\overline{r} \in \overline{R}$ hay una
palabra correspondiente $r$, y, a continuación, $\overline{r} = 1_{G/N}$ implica que
$r \in N$, por lo que en el grupo $G$ tenemos $r =_G w_r$, para algunos la palabra
$w_r \in (Y \cup Y^{-1})^*$. Deje $R$ el conjunto $\{\, rw_r^{-1} \mid
\overline{r} \in \overline{R}\,\}$.
Para cada una de las $y \in Y$$x \in X$,$x^{-1}yx \in N$, por lo que
$x^{-1}yx =_G w_{xy}$ para algunos la palabra $w_{xy} \in (Y \cup Y^{-1})^*$.
Deje $T$ el conjunto $\{\, x^{-1}yxw_{xy}^{-1} \mid x \in X,\,y \in Y \,\}$.
La proposición. Con la anterior notación, $\langle\, X \cup Y \mid R \cup S \cup T\,\rangle$
es una presentación de la $G$.
Prueba.Deje $F$ ser el grupo que se define por la presentación anterior. Para evitar confusiones,
deje que nos indican los generadores de $F$ la asignación a $x \in X$ o
$y \in Y$ $\hat{x}$ $\hat{y}$ , respectivamente.
Hemos elegido los conjuntos de $R,S,T$ a ser las palabras que evaluar a la identidad
en $G$, por lo que la asignación de $\hat{x} \to x$,
$\hat{y} \to y$ induce un homomorphism $\theta:F \to G$. De hecho, $\theta$
es un epimorphism, porque claramente $G$ es generado por $X \cup Y$.
Deje $K$ ser el subgrupo $\langle\, \hat{y} \mid y \in Y\, \rangle$$F$.
A continuación,$\theta(K) = N$. Puesto que, por hipótesis, $\langle\, Y \mid S\, \rangle$
es una presentación de la $N$, y los relatores de $S$ también son relatores de $K$,
de ello se desprende que el mapa de $y \to \hat{y}$ induce una
homomorphism $N \to K$. Pero este homomorphism luego es una inversa de la
$\theta_K$, lo $\theta_K:K \to N$ es un isomorfismo.
Ahora queremos afirmar que los relatores en $T$ implica que $K \unlhd F$.
Esto no es tan clara como es posible que a primera vista parecen! Para ser
claro, necesitaríamos saber que $\hat{x} \hat{y} \hat{x}^{-1} \in K$
para todos los $x \in X, y \in Y$, además de la
$\hat{x}^{-1} \hat{y} \hat{x} \in K$.
Pero el hecho de que $N \unlhd G$ nos dice que cada una de las $x \in X$ induce un
automorphism de $N$ por conjugación, lo que implica que, para cada una de las $x \in X$, se
ha $N = \langle\, w_{xy} \mid y \in Y\, \rangle$. Desde $N$ es isomorfo a
$K$ través $\theta_K$, la correspondiente declaración es verdadera en $K$ por cada
$\hat{x}$. Así que el hecho de que $\hat{x}^{-1}$ conjugados de cada palabra
$w_{xy}$ a $K$ implica que la propiedad deseada
$\hat{x} \hat{y} \hat{x}^{-1} \in K$ todos los $x \in X, y \in Y$.
Así que en realidad tenemos $K \unlhd F$.
Ahora, por un argumento similar a la de arriba para $\theta_K$,
el hecho de que $\langle\, \overline{X} \mid \overline{R}\, \rangle$ es un
presentación de $G/N$ implica que la inducida por homomorphism
$\theta_{F/K}:F/K \to G/N$ es un isomorfismo. Por lo tanto, si $g \in \ker(\theta)$,
a continuación, $gK \in \ker (\theta_{F/K})$ implica que el $g \in K$, pero luego
$g \in \ker(\theta_K) = 1$, lo $\theta$ es un isomorfismo, lo que demuestra la
resultado.
