¿Es la transposición de la matriz una transformación lineal?

Question

Esta fue la pregunta que se me planteó. ¿Existe una matriz $A$ para lo cual $AM$ = $M^T$ por cada $M$ . La respuesta a esto es obviamente no ya que puedo variar la dimensión de $M$ . Pero ahora esto me lleva a pensar , si tomo , digamos solo $2\times2$ matriz en consideración. Ahora para una matriz $M$ , $A=M^TM^{-1}$ así que $A$ no es fijo y depende de $M$ pero la operación sigue todas las condiciones de una transformación lineal y yo había leído que cualquier transformación lineal se puede representar como una matriz. Entonces, ¿la última afirmación es errónea o mi argumento es erróneo?

Answer 1

La operación que transpone "todas" las matrices no es, en sí misma, una transformación lineal, porque las transformaciones lineales sólo se definen sobre espacios vectoriales.

Además, no entiendo lo que la matriz $A=M^TM^{-1}$ se supone que es, sobre todo porque $M$ no necesita ser invertible. Su comprensión aquí parece faltar...

Sin embargo:

La operación $\mathcal T_n: \mathbb R^{n\times n}\to\mathbb R^{n\times n}$ definido por $$\mathcal T_n: A\mapsto A^T$$

es una transformación lineal. Sin embargo, es una operación que mapea un $n^2$ espacio dimensional en sí mismo, lo que significa que la matriz que lo representa tendrá $n^2$ columnas y $n^2$ ¡Remadas!

Answer 2

El espacio vectorial de $n\times n$ matrices es $n^2$ -y, por tanto, la representación matricial del mapa (efectivamente) lineal $X\mapsto X^T$ tendría que ser $n^2\times n^2$ (y es mejor que reordene/interprete el $n\times n$ matrices en $n^2\times 1$ vectores columna).

Answer 3

Además de las otras respuestas, ciertamente tienes una representación matricial de la transposición si tratas $n\times n$ matrices como grandes vectores ( $n^2\times 1$ vectorial). Así que tendrás que traducir por ejemplo una matriz $M=[m_{ij}]_{ij}$ en $(m_{11},\dots,m_{n1},\cdots,m_{1n},\dots,m_{nn})^T$ . El envío de la transposición $m_{ij}$ a $m_{ji}$ es simplemente la matriz: $$ \begin{pmatrix} \overbrace{1~0~\cdots~0}^{n} \\ & 1~0~\cdots~0 \\ && \ddots\\ &&&1~0~\cdots~0 \\ 0~1~\cdots~0 \\ & 0~1~\cdots~0 \\ && \ddots\\ &&&0~1~\cdots~0 \\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ 0~\cdots~0~1 \\ & 0~\cdots~0~1 \\ && \ddots\\ &&&0~\cdots~0~1 \\ \end{pmatrix} $$

Answer 4

Incluso si restringimos $A$ y $M$ para ser $n \times n$ matrices, no existe tal matriz $A$ .

De hecho, tomando $M=I$ obtenemos $A=I$ . Pero entonces, tomando una matriz no simétrica $M$ no podemos tener $AM=M^T$ .

Answer 5

Aunque las respuestas actuales indican claramente por qué el razonamiento no es correcto, me gustaría añadir un punto que no se ha mencionado hasta ahora. Al tratar de definir $A=M^TM^{-1}$ , estás haciendo una matriz $A$ que depende del argumento $M$ al que se aplica el mapa. Eso nunca puede ser correcto. Mientras que describir una transformación lineal como un mapa implica, como para cualquier mapa, una expresión que da el resultado en términos del argumento (como aquí $M\mapsto M^T$ ), la matriz que representa el mapa lineal debe contener por definición constante valores que no dependen del argumento (aquí $M$ ) al que potencialmente se va a aplicar el mapa lineal. Esto es similar a los coeficientes de una función polinómica de $~x$ : este coeficiente por definición no puede implicar $~x$ . Ver también esta respuesta a una pregunta confusa relacionada.

Por supuesto, esto no quita nada a los otros argumentos, sobre todo que $A$ no es el tipo de matriz adecuado para ser considerada la matriz que representa el mapa lineal $M\mapsto M^T$ (por no hablar del problema que tendría para el caso de las matrices no cuadradas, para las que $M\mapsto M^T$ sigue siendo una transformación lineal).