Rango de una coherente gavilla en términos de los coeficientes del polinomio de Hilbert

Question

Deje $X$ ser un esquema proyectivo sobre un campo $k$. Deje $\mathcal{O}(1)$ ser una amplia línea de paquete en la $X$, entonces el polinomio de Hilbert $P(E)$ está dado por $m\mapsto\chi(E ⊗ O(m))$. La explícita polinomio de la forma está dada por el siguiente resultado

$\textbf{Lemma}$: Vamos a $E$ ser coherente gavilla de dimensión $d$ y deje $H_1 , . . . , H_d \in |\mathcal{O}(1)|$ $E$- secuencia regular. A continuación,$P(E, m) = \chi(E ⊗ \mathcal{O}(m)) =\Sigma_{i=0}^{d}\chi(E|_{\cap_{j\leq i }H_j}){m+i-1\choose i}$.

Así que este polinomio puede ser el único escrito en el formulario de $\Sigma_{i=0}^d\alpha_i(E)\frac{m^i}{i!}$.

A continuación definimos el rango de $rk(E)=\frac{\alpha_d(E)}{\alpha_d(\mathcal{O}_X)}$. Pero para un esquema integral, el rango se define como el rango en el punto genérico. ¿Cómo son estas dos nociones de la misma?

Del mismo modo, el grado de $E$ se define a ser $deg(E)=\alpha_{d-1}(E)-rk(E).\alpha_{d-1}(\mathcal{O}_X)$. De nuevo, para una variedad proyectiva, el grado se define a ser $c_1(E).H^{d-1}$. ¿Cómo podemos mostrar que estos dos son la misma. Cualquier ayuda será muy apreciada!

Answer 1

El uso de la Hirzebruch-Riemann-Roch Teorema. $$ \chi(O(m)) = \int \exp(mH) \cdot td(X) = m^dH^d/d! + m^{d-1}H^{d-1}td_1/(d-1)! + \cdots $$ así que podemos ver que $a_d(O) = H^d$$a_{d-1}(O) = H^{d-1}td_1$.

Siguiente \begin{align*} \chi(E(m)) &= \int ch(E) \cdot \exp(mH) \cdot td(X) \\ &= rm^dH^d/d! + c_1(E)H^{d-1}m^{d-1}/(d-1)! + rm^{d-1}H^{d-1}td_1/(d-1)! + \cdots \end{align*} así que podemos ver que $a_d(E) = rH^d$$a_{d-1} = c_1(E)H^{d-1} + r\cdot td_1 H^{d-1}$.

Si damos por sentado que el rango como definida es igual al cero de chern de clase, todo lo que quieras de la siguiente manera.