Estoy tratando de calcular $e^{At}$. ¿Dónde puedo ir mal?

Question

Deje $$A=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -4 & 0\end{bmatrix}$$

Quiero determinar $e^{At}$. He probado utilizando dos métodos.

Primero a través de la Jordan en la forma:

El polinomio característico de a $A$ está dada por $$\det(I\xi-A)=\begin{vmatrix} \xi & -1 & 0 & 0 \\ 1 & \xi & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \xi & -1 \\ 0 & 0 & 4 & \xi \end{vmatrix}=1\cdot\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \xi & -1 \\ 0 & 4 & \xi \end{vmatrix}+\xi\cdot\begin{vmatrix} \xi & 0 & 0 \\ 0 & \xi & -1 \\ 0 & 4 & \xi \end{vmatrix}$$

$$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \xi & -1 \\ 0 & 4 & \xi \end{vmatrix}=1\cdot\begin{vmatrix} \xi & -1 \\ 4 & \xi \end{vmatrix}=\xi^{2}+4\qquad\text{y}\qquad \begin{vmatrix} \xi & 0 & 0 \\ 0 & \xi & -1 \\ 0 & 4 & \xi \end{vmatrix}=\xi\cdot\begin{vmatrix} \xi & -1 \\ 4 & \xi \end{vmatrix}=\xi(\xi^{2}+4)$$

$$\implies\det(I\xi-A)=\xi^{2}+4+\xi(\xi^{3}+4\xi)=\xi^{4}+5\xi^{2}+4=(\xi^{2}+4)(\xi^{2}+1)$$ Then the eigenvalues are given by $\lambda_{1,2}=\pm i$ and $\lambda_{3,4}=\pm 2i$. Ahora, el cálculo de los correspondientes vectores propios:

Para$\lambda=i$, $$\begin{cases} -ix+y=0 \\ -x-iy=0 \\ iz+w=0 \\ -4z-iw=0 \end {casos}\implica\begin{cases} x=-y \\ 4z=-w \end{casos}$$ Then setting $x=a$ and $z=b$, for $a,b\in\mathbb{C}$, obtenemos:

$$v_{1}=\begin{pmatrix} a \\ -a \\ b \\ -4b \end{pmatrix}=a\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix}$$

Del mismo modo, para $\lambda=-i$, se calcula, para el complejo de $c,d$: $$v_{2}=c\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+d\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}$$

Para $\lambda=2i$, obtenemos: $$v_{3}=j\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+k\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$$

Y por último, para $\lambda=-2i$: $$v_{4}=m\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+n\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$$

Definir $S=\begin{bmatrix} v_{1} & v_{2} & v_{3} & v_{4} \end{bmatrix}$. Then $$S=\begin{bmatrix} a & -c & j & -m \\ -a & c & -j & m \\ b & -d & k & -n \\ -4b & 4d & -2k & 2n \end{bmatrix}$$

Pero tengo que calcular el $S^{-1}$ a través de este método (que parece un poco demasiado complicado), ya que $e^{At}=Se^{S^{-1}ASt}S^{-1}$.

Entonces traté de calcular $e^{At}$ utilizando la teoría de los comportamientos autónomos:

Así que me dijo que cada solución fuerte de $\frac{d}{dt}x=Ax$ es de la forma $$x(t)=B_{10}e^{-it}+B_{20}e^{it}+B_{30}e^{-2it}+B_{40}e^{2it}$$

Los vectores $B_{ij}$ deben satisfacer las relaciones $$(-i\cdot I-A)B_{10}=0$$ $$(i\cdot I-A)B_{20}=0$$ $$(-2i\cdot I-A)B_{30}=0$$ $$(2i\cdot I-A)B_{40}=0$$

La resolución de estas ecuaciones rendimiento $B_{10}=v_{1}$, $B_{20}=v_{2}$, $B_{30}=v_{3}$, $B_{40}=v_{4}$, según lo calculado previamente.

Por lo tanto cada una de las soluciones de $x$ puede ser escrito como $$x(t)=a\begin{bmatrix}-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}e^{-it}+b\begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ -1 \\ 4\end{bmatrix}e^{-it}+c\begin{bmatrix}-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}e^{it}+d\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix}e^{it} +j\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}e^{-2it}+k\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}e^{-2it}+m\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}e^{2it}+n\begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix}e^{2it}$$

De esto podemos obtener cuatro soluciones linealmente independientes:

$$x_{1}(t)=\begin{bmatrix}-e^{it} \\ e^{it} \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}\qquad x_{2}(t)=\begin{bmatrix}e^{2it} \\ -e^{2it} \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}\qquad x_{3}(t)=\begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ e^{it} \\ 4e^{it}\end{bmatrix} \qquad x_{4}(t)=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ e^{2it} \\ -2e^{2it}\end{bmatrix}$$

La matriz $X$ se define como $X=\begin{bmatrix}x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4}\end{bmatrix}$

A continuación, $e^{At}=\Phi(t):=X(t)X^{-1}(0)=\text{something really complicated, so I think I went wrong somewhere}$

Answer 1

Sugerencia de La matriz $A$ es de bloque diagonal, es decir,, $$A = A_1 \oplus A_2,$$ where $$A_1 := \pmatrix{0&1\\-1&0}, \qquad A_2 := \pmatrix{0&1\\-4&0},$$ and it's straightforward to show for square matrices $ B_i$ (and in particular our matrices $A_i t$) that $$\exp(B_1 \oplus B_2) = \exp B_1 \oplus \exp B_2 .$$

Un computacional de lado: Para calcular los $\exp (A_1 t)$, se puede proceder por encontrar la forma normal de Jordan y diagonalizing como en la cuestión de la declaración, pero también podemos utilizar la caracterización que $\exp (A_1 t)$ es la única $1$-parámetro de familia $C(t)$ de las matrices que satisface la homogéneas, lineales de primer orden IVP $$\frac{d}{dt} C(t) = A_1 C(t), \qquad C(0) = I .$$ In components $c_{ij}(t)$, esto es sólo $$\left\{ \begin{array}{rclcrcl} c_{11}'(t) &=& \phantom{-}c_{21}(t), &\quad& c_{11}(0) &=& 1\\ c_{12}'(t) &=& \phantom{-}c_{22}(t), &\quad& c_{12}(0) &=& 0\\ c_{21}'(t) &=& -c_{11}(t), &\quad& c_{21}(0) &=& 0\\ c_{22}'(t) &=& -c_{12}(t), &\quad& c_{22}(0) &=& 1\\ \end{array} \right. .$$ La combinación de la primera y tercera ecuaciones da la conocida ODA $c_{11}''(t) = - c_{11}(t)$, que tiene solución general $c_1 \cos t + c_2 \sin t$, y sustituyendo las condiciones iniciales da $c_{11}(t) = \cos t$. Proceder del mismo modo con el resto de las entradas que da $$\exp A_1 t = \pmatrix{\cos t & \sin t\\ -\sin t & \cos t} .$$

Answer 2

Uno de los problemas para asegurarse de que es la forma de tratar el complejo de sistemas lineales. Mira tu solución: $$ \begin{cases} -ix+y=0 \\ -x-iy=0 \\ iz+w=0 \\ -4z-iw=0 \end{casos}\implica\begin{cases} x=-y \\ 4z=-w \end{casos} $$ Si me tome $x=-y=1$, por ejemplo, voy a conseguir la primera ecuación $$ -i-1=0. $$ Es claramente falso. La solución es $x=-iy$, $w=z=0$, así, un vector propio es, por ejemplo, $$ \left[\matriz{-i\\1\\0\\0}\a la derecha]. $$

P. S. tenga en cuenta que todos los valores propios son distintos, por lo que no puede obtener más de un lineal independiente vector propio para cada uno.