Multiplicativa de la propiedad de la GCD

Question

Tengo que demostrar que

$$(ah,bk)=(a,b)(h,k)\left( \frac{a}{(a,b)},\frac{k}{(h,k)}\right)\left( \frac{b}{(a,b)},\frac{h}{(h,k)}\right)$$

Estoy casi seguro que tengo que usar $$\left(\frac{a}{(a,b)},\frac{b}{(a,b)}\right)=1 $$ and $(a ,b)=1 $ and $\mediados de bc $ then $\mediados de c$ pero no estoy seguro de cómo construir la prueba.

Answer 1

Cancelar $\rm\:(a,b)(h,k),\:$ escritura $\rm\: A = \dfrac{a}{(a,b)},\ B = \dfrac{b}{(a,b)},\ H = \dfrac{h}{(h,k)},\ K = \dfrac{k}{(h,k)}\:$ se convierte en

$$\rm\ (AH,BK) = (A,K)(B,H)$$

$$\rm\iff \left(\frac{A}{(A,K)}\frac{H}{(B,H)},\, \frac{B}{(B,H)}\frac{K}{(A,K)}\right) = 1\phantom{\iff}$$

Cierto, ya que cada término de la izquierda es coprime a cada término en el derecho, por ejemplo, los primeros términos son coprime por $\rm\:(A,B) = (a/(a,b),\,b/(a,b)) = (a,b)/(a,b) = 1\:$ los primeros y los últimos términos son coprime por un argumento similar (reemplace $\rm\:a,b\:$ $\rm\:A,K).$