¿La paradoja de Russell se refiere realmente a los conjuntos como tales?

Question

Me parece que la paradoja de Russell es más bien una "paradoja" relativa a las relaciones.

Supongamos que queremos construir un gráfico (con un número finito o infinito de nodos) y queremos que algún nodo sea adyacente exactamente a los nodos que no son adyacentes a ellos mismos.

Es el mismo problema, que parece surgir del hecho de que no es posible definir relaciones con nodos de ciertas especificaciones adyacentes.

Y hay muchos otros ejemplos de construcciones imposibles de relaciones.

Supongamos que queremos construir un grafo y queremos algún nodo $s$ para ser adyacente a exactamente esos nodos $x$ tal que:

• todas las cadenas $x\to x_1\to x_2\to x_3\to\cdots$ son finitos;
• dada una suryección $f$ para la construcción, $f(x)\nrightarrow x$ . $($ Set $s=f(x)\dots)$

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Parece necesario señalar que no me refiero a que haya una paradoja de Russell (sólo era una consecuencia paradójica de una construcción), y que no sé si matemáticos realmente quiere decir que la construcción de Russell dice algo sobre los conjuntos como tal.

Pero creo que mucha gente piensa que la paradoja de Russell se refiere realmente a los conjuntos.

Answer 1

Lo interesante de la paradoja de Russell no es que implique un objeto que no puede existir, sino que ese objeto está incrustado en una teoría que parecía sólida hasta que Russell señaló el objeto contradictorio.

Ciertamente, se pueden inventar todo tipo de principios falsos sobre objetos inexistentes. Por ejemplo, dejemos que $V$ ser un pueblo en el que viven dos hombres, $A$ y $B$ , donde $A$ es más alto que $B$ y $B$ es más alto que $A$ . Ahora construye una teoría de tales pueblos.

Pues bien, a nadie le importa, porque es obvio que no existen tales pueblos y que cualquier teoría de los mismos es una pérdida de tiempo. O, del mismo modo, un gráfico $G$ con un nodo $n$ que es adyacente a todos los nodos que no son adyacentes a sí mismos. Pero, obviamente, no existe tal gráfico, así que ¿por qué lo harías?

La crisis histórica causada por la paradoja de Russell fue que los matemáticos como grupo se dejaron llevar por el seductor principio de comprensión general que

para cada propiedad $\Phi$ hay una colección $\{x\mid \Phi(x)\}$ de todo con propiedad $\Phi$

y más tarde se demostró (como lo hizo Russell) que este principio es falso.

Si todo el mundo se dejó engañar por el principio de comprensión general, ¿cómo se puede estar seguro de que no se sigue engañando por alguna otra idea que parezca plausible? Los matemáticos del siglo XX han trabajado mucho en la geometría algebraica. El teorema de Bézout dice que, dado el contexto adecuado, dos curvas algebraicas de grado $m$ y $n$ tienen exactamente $mn$ intersecciones. ¿Cómo puedes estar seguro de que algún nuevo Russell no encontrará mañana un argumento que diga que, en realidad, no existen tales curvas y que todo el edificio teórico de la geometría algebraica es un completo disparate? Pero eso es justo lo que ocurrió en la teoría de conjuntos.

Es fácil construir objetos con propiedades contradictorias. La gente aparece en esta web cada semana para preguntar por el mayor número real menor que 5. ( 1 2 ) Estas cuestiones no precipitan las crisis teóricas. La crisis de la paradoja de Russell no fue el objeto paradójico, sino el fracaso de la teoría en la que estaba inserto ese objeto.

Answer 2

Su versión de la teoría de los grafos no es paradójica, porque en primer lugar nunca hubo ninguna razón para creer que tal grafo existe.

En cambio, la teoría de conjuntos de Frege hizo implican que existe un conjunto con la propiedad de Russell, de ahí la paradoja.

Answer 3

Si te interesa, puedes traducir la paradoja de Russell en lógica del cálculo lambda para evitar completamente los conjuntos:

$$P = \{Q ~\mid~ Q \not \in Q\}$$

se convierte en

$$\text{define } P \text{ as } \bigg(\lambda ~ Q .\lnot Q(Q)\bigg)$$

o más fácil de leer como $P(Q) = \lnot Q(Q)$ .

Para seguir la lógica, ponga $P$ como argumento para obtener $P(P) = \lnot P(P)$ que en realidad no es paradójico en el cálculo lambda. Sólo es un problema cuando se añade la suposición (codificada apropiadamente...) de que $\forall x~~\bigg( P(x) \in \{\text{true}, \text{false}\}\bigg)$ . Traduciendo esta suposición al lenguaje de los conjuntos, sería

$$\forall A,B ~~\bigg((A \in B) \in \{\text{true}, \text{false}\}\bigg)$$

La cuestión de "qué causa la paradoja de Russell" o "de qué se trata realmente" es una cuestión de opinión. En mi opinión, proviene de no distinguir cuidadosamente cuándo la declaración de un axioma es realmente una definición gramatical y cuándo no lo es. Pero estoy de acuerdo con tu opinión de que la paradoja no tiene que ser declarada en términos de conjuntos.

Answer 4

Técnicamente, la paradoja de Russell apunta a una técnica de prueba bastante interesante para demostrar que un determinado objeto matemático no existe:

Para demostrar que no existe una suryección $p:A\to\mathcal P(A)$ , definen el conjunto $B=\{x\in A|x\notin p(x)\}$ . Obviamente, $B\notin\mathrm{Im}\; p$ .

Históricamente, la paradoja de Russell muestra que la confianza tradicional en la correspondencia entre clases y predicados era defectuosa. Incluso en los años sesenta se enseñaba en las clases de filosofía que había una correspondencia entre una propiedad y la clase de sujetos que tenían esa propiedad, una falacia que, por supuesto, tuvo influencia en la primera teoría de conjuntos.