El poder de la torre de la desigualdad

Question

Yo quiero probar la siguiente potencia de la torre de la desigualdad:

$$3 \uparrow \uparrow 100 > 4 \uparrow \uparrow 99$$

pero no sé cómo hacerlo. Creo que la inducción no va a funcionar, porque yo creo que habrá un $N$ para los que

$$3 \uparrow \uparrow N < 4 \uparrow \uparrow (N-1)$$

Alguien podría ayudarme en la dirección correcta? Por favor, no responder a una solución completa, pero necesito una sugerencia.

Answer 1

En realidad, $4 \uparrow \uparrow n < 3 \uparrow \uparrow (n+1)$ todos los $n \ge 0$.

De hecho, se puede demostrar que si $x$ $y$ son tales que $1 < x < y$, luego $$y \uparrow \uparrow n \ \ < \ \ x \uparrow \uparrow (n+c)\ \ \quad(n \ge 0)$$ donde $c$ es un postive entero, dependiendo únicamente de la $x$$y$.

He aquí una prueba de contorno (adaptado a partir de esta publicación y los seguimientos):

1. Supongamos $1 < x < y$, y deje $a_n = {\log_x}^n(y\uparrow\uparrow n)$$n \ge 0$. Considerar la secuencia de $(a_n)$ $n \to \infty.$
2. Mostrar que $(a_n)$ es estrictamente creciente, utilizando las propiedades de los logaritmos.
3. Mostrar que $(a_n)$ tiene un límite, decir $A$, utilizando el Valor medio el Teorema de resultar extremadamente rápida convergencia.
4. Tenga en cuenta que $y\uparrow\uparrow n = (x\uparrow)^n a_n < (x\uparrow)^n A \le (x\uparrow)^n (x\uparrow)^c 1$ = $x\uparrow\uparrow (n+c)$, donde $c$ es el menor entero satisfacer $A \le (x\uparrow)^c 1 = x\uparrow\uparrow c$.

Aquí hay algunos casos particulares:

x   y   c   A
--  --  --  ----------------
2   3   2   2.44402146148920
2   4   2   3.17037617633756
2   5   2   3.68091002494335
2   6   3   4.07723742182623
e   3   1   1.22172930187025
3   4   1   1.51107202382304   <-- your case
3   5   1   1.85474212525557
4   5   1   1.28188454071981

Answer 2

Tratamos de probar

$3 \uparrow \uparrow n+1 > \log_3(4) \cdot 4 \uparrow \uparrow n$ todos los $n \in \mathbb{N}$

y el uso de los siguientes hechos acerca de la $\log$

• $\log_a (x) = \frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}$
• $\ln : \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb R$ es estrictamente creciente