Cada $x \in (0,1]$ puede ser representado como $x = \sum_{k=1}^{\infty} 1/{n_k}$, de tal manera que $n_{k+1}/n_k\in \{2,3,4\}$

Question

Muestran que todos los $x \in (0,1]$ puede ser representado como $x = \sum_{k=1}^{\infty} 1/{n_k}$ donde $(n_k)$ es una secuencia de enteros positivos tal que $n_{k+1}/n_k\in \{2,3,4\}$.

Por favor, NO revelan la solución completa, estoy en busca de pistas.

Así, la primera estrategia que vino a mi mente fue: tengo que empezar con una representación de $x$ en una base-$n$ expansión y, a continuación, muestro que cada plazo $a_k = x_k/n^k$ donde $x \in \{0,1,\cdots,n-1\}$ puede ser escrita como una suma finita de $1/{n_k}$'s con la condición dada, es decir,$n_{k+1}/n_k \in \{2,3,4\}$.

No suena como una buena estrategia, porque incluso si reemplazar todos los $a_k = x_k/n^k$, con una suma finita de la forma $a_k=\sum_{i=1}^{m_k}1/n_{i,k}$ y escribir el número como $$\sum_{k=1}^{\infty}(\sum_{i=1}^{m_k}1/{n_{i,k}})$$

con la condición de que para cada uno de ellos fijo $k: {n_{i+1,k}/n_{i,k}} \in {2,3,4}$ no hay ninguna garantía de que el mismo es cuando nos saltar desde el último término en la suma de $a_k$ para el primer término de la suma de $a_{k+1}$.

Por favor, dame algunas ideas sobre cómo se podría abordar un problema como este y cuáles son algunas buenas estrategias para tratar de.

Gracias de antemano

EDIT: UNA nueva estrategia, que sólo vino a mi mente:

Empezar así:

Tome $x \in (0,1]$, luego por Archemedean propiedad de los reales, podemos encontrar $n_1$ tal que $1/n_1 < x$. Ahora elija $n_2$ tal que $n_2/n_1 = \min\{2,3,4\}$ que $1/n_1 + 1/n_2 < x$. Si ese $n_2$ no existe, entonces tome $n_1$ más pequeño suficiente que $n_2$ existe.. seguir adelante en este camino y tendrás un aumento de la secuencia de términos positivos que está acotada arriba por $x$.. por lo Tanto, la secuencia debe ser convergente.. por Lo que tiene un supremum y ahora debemos de alguna forma de control de la supremum a ser $x$ y puede ser hecho por la disminución de la diferencia entre la suma y la $x$. Es esta idea buena?

Answer 1

Sugerencia: Para cada $m\ge 1$, definir $$S_m:=\big\{\sum_{k=1}^\infty\frac1{n_k}: n_1=m, \frac{n_{k+1}}{n_k}\in\{2,3,4\},~\forall k\ge 1\big\},\quad T_m: \Bbb R\to \Bbb R,\ T_m(x)=mx-1.$$

Por definición, para cada $m\ge 1$, $T_m(S_m)= S_2\cup S_3\cup S_4:=S$, y para $I:=[\frac1{3},1]$, $$S\subset I, \quad T_2^{-1}(I)\cup T_3^{-1}(I)\cup T_4^{-1}(I) \supset I \tag{1}.$$

El uso de $(1)$ podemos demostrar que $$S=I\quad\Longrightarrow \quad\bigcup_{m=2}^{\infty}S_m=(0,1]~.\tag{2}$$

La prueba de $(2)$(boceto):

Dado $x_0\in I$, debido a $(1)$, podemos definir a la $x_k\in I$ inductivamente en $k$ eligiendo $m_k\in\{2,3,4\}$, de tal manera que $x_k:=T_{m_k}(x_{k-1})\in I$. Entonces es fácil comprobar que $x_0=\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{\prod_{j=1}^k m_j}\in S.$

Answer 2

Sugerencia: Si $x \in [\dfrac{1}{3},1]$, entonces al menos uno de $2x-1, 3x-1, 4x-1$ $[\dfrac{1}{3},1]$

Secundaria ayuda:

Este hecho podría ser utilizado para generar una secuencia infinita que consta de 2s, 3s y 4s.