Propiedades del espectro de una auto-adjunto del operador en un espacio de Hilbert separable

Question

Así que, si he entendido correctamente, el espectro de una auto-adjunto del operador en un espacio de Hilbert $H$ se compone de dos partes: $ \newcommand{\cy}[1]{\,\lvert{#1}\rangle} \newcommand{\op}[1]{\hat{#1}} $

• punto de espectro , que es un conjunto de autovalores $a$ que satisfacer $\op{A} \ket{a} = a \ket{a}$ para un vector $\ket{a} \in H$;
• espectro continuo que consiste en los valores de $a$ que, en términos generales, a satisfacer la misma ecuación de autovalores, pero para un vector $\ket{a}$ que no pertenecen al espacio de Hilbert, sino que es una parte de la llamada aparejado el espacio de Hilbert.

Colectivamente, los valores de $a$ que satisfacer $\op{A} \ket{a} = a \ket{a}$ para un vector $\ket{a}$, ya sea a partir de un espacio de Hilbert o el amañado espacio de Hilbert son llamados aproximado de autovalores , mientras que los vectores a sí mismos se denominan aproximado de vectores propios.

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Ahora, en el caso límite cuando un auto-adjunto del operador en un espacio de Hilbert tiene sólo punto del espectro, es decir, un espectro que consta de autovalores sólo, un conjunto de los correspondientes vectores propios es una base que por la dimensión teorema es contable si un espacio de Hilbert es separable. En consecuencia, el conjunto de autovalores del operador también es contable. Y aquí viene mi primera pregunta: ¿es la misma verdad, incluso cuando espectro continuo no está vacío, es decir, es el conjunto de valores propios de una auto-adjunto del operador en un espacio de Hilbert separable siempre contables, independientemente o no de que el operador ha aproximado valores propios que no son los autovalores? O, en otras palabras, es el punto del espectro de una auto-adjunto del operador en un espacio de Hilbert separable siempre discretos, independientemente de la presencia de espectro continuo?

Mi segunda pregunta es (en cierto sentido) el opuesto exacto de la primera. Es espectro continuo de auto-adjunto del operador en un espacio de Hilbert separable siempre continua? donde la tarde de continuidad se entiende es como el opuesto a discreto, es decir, como uncountability del conjunto aproximado de autovalores que no son los autovalores.

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Estos pueden aparecer como puramente matemático preguntas, pero estoy interesado principalmente en las consecuencias físicas. Por ejemplo, me gustaría saber es el espectro de un auto-adjunto del operador (que representa un observable) puramente discretos sólo cuando se limita a punto de espectro? Y es puramente continua (como opuesto a discretos) sólo cuando se limita al espectro continuo?

Answer 1

(1) Sí, el punto de espectro contables en su hipótesis: de lo contrario, el operador tendría un innumerable conjunto de pares de vectores ortogonales ya que los vectores propios de una auto-adjunto del operador con diferentes valores propios son ortogonales. Esto es imposible porque, en cada espacio de Hilbert, cada conjunto de (normalizado) vectores ortogonales puede ser completado en una base de Hilbert por el lema de Zorn y cada una de Hilbert base es contable si el espacio es separable.

(2) no, no es necesariamente cierto que el espectro continuo es incontable. Usted puede tener un único punto en el espectro continuo, por ejemplo. Este es el caso para el espectro de la auto-adjunto del operador $1/H$ donde $H$ es el Hamiltoniano del oscilador armónico. El único punto en el espectro continuo es $0$.

COMENTARIO. Sin embargo no creo que discreto es realmente un adjetivo apropiado para el punto del espectro. Mi impresión es que su idea de la discreta consiste en el hecho de que los puntos son aislados. Este no es el caso para el punto de espectro en general también si el espacio de Hilbert separable. Usted puede tener un punto de espectro coincidiendo con los números racionales, que son densos en $\mathbb R$ como es bien sabido.

De hecho, hay otras descomposiciones del espectro. Dentro de un cierto enfoque se define el llamado espectro discreto como la parte de punto de espectro de los aislados de autovalores cuya subespacios propios son finito-dimensional.

Si el espacio de Hilbert no es separable, es posible construir una auto-adjunto operador cuyo punto de espectro es el conjunto de la $\mathbb R$.

COMENTARIO 2. No es necesario introducir la noción de manipulado espacio de Hilbert para definir las nociones de aproximar valores y vectores propios. Dado un sí mismo-adjoint operador $A:D(A)\to H$ en el espacio de Hilbert $H$, es posible demostrar que $\lambda \in \sigma_c(A)$ si y sólo si $\lambda$ no es un valor propio (en buen sentido) y, para cada $\epsilon>0$ hay $\psi_\epsilon \in D(A)$ $||\psi_\epsilon||=1$ tal que $||A\psi_\epsilon - \lambda \psi_\epsilon|| < \epsilon$.

Answer 2

En primer lugar, vamos a responder a las preguntas exactamente como usted redactado de ellos:

El punto de espectro es siempre discreta en el sentido de que consiste en la mayoría de los countably muchos puntos.

Esto es cierto en la prueba de los siguientes resultados: a) el espacio recorrido por todos los vectores propios es un subespacio cerrado del espacio de Hilbert, por lo tanto tenemos un ortonormales sistema de vectores propios, b) dos vectores propios de dos autovalores distintos son siempre ortogonales, y c) una ortonormales sistema de un espacio de Hilbert separable es contable. El último está implícito en el hecho de que separables de Hilbert espacios permiten contables bases de Schauder (bases ortonormales) y el hecho de que dos bases deben tener la misma cardinalidad.

Sin embargo, tenga en cuenta que hay un sentido en el que los valores propios son no necesariamente discreta en un sentido diferente de la palabra: El cierre de la serie de valores propios pueden ser más grandes. Como un ejemplo, considere la posibilidad de un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ con base ortonormales $|\psi_n\rangle$ y definir el operador $K$$K:|\psi_n\rangle\mapsto 1/n|\psi_n\rangle$. Autovalores son $1/n$ que se acumulan en $0$, que en sí no es un valor propio.

Por otro lado, el espectro continuo puede consistir en un solo punto.

Como un ejemplo, considere el mismo operador que el anterior. Dado que el espectro es siempre cerrado, $0$ está dentro del espectro, pero no es un autovalor. Se puede mostrar fácilmente que es el único punto del espectro que no es un autovalor (la razón es que el $K$ es compacto y compacto para los operadores, los autovalores son densos en el espectro). Por lo tanto $0$ es el espectro continuo de la operadora.

[Se podría argumentar que esta parte del espectro no es en realidad lo que quieres decir por "espectro continuo" de su definición -, pero yo voy a ir con la habitual de los libros de texto de la definición de espectro continuo aquí, lo que implica también la dicotomía de punto de espectro vs espectro continuo.]

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Pero ahora déjame decirte que tu primer párrafo es problemático por muchas razones y la introducción de un montón más de cosas.

Primero de todo, hay algo que se llama un espectro discreto, que, sin embargo, no es equivalente al punto del espectro del operador.

Definición: Dejar $A$ ser un auto-adjunto del operador en un espacio de Hilbert separable. La discreta del espectro se compone de todos los aislados de valores propios, es decir, los autovalores $\lambda$ con multiplicidad finita tal que para algunos $\varepsilon>0$,$\sigma(A)\cap (\lambda-\varepsilon,\lambda+\varepsilon)=\{\lambda\}$. El complemento de la discreta del espectro se denomina esencial espectro.

Por ejemplo, si usted toma el operador $K$ arriba, entonces el espectro discreto es precisamente el punto del espectro, mientras que los esenciales espectro consta de $0$. Por otro lado, la identidad del operador $I$, claramente el punto de espectro (y también el espectro) consta de $1$, pero el espectro es discreto vacío, ya que el autovalor es de infinita multiplicidad.

La idea es que "discretos" en realidad significa "todos los valores propios que no son la acumulación de puntos de los "valores propios". Claramente, el discreto espectro consiste en la mayoría de los countably muchos de los valores.

Pero eso no es todo. Podría parecer bastante lamentable tener $0$ ser parte del espectro continuo de la compacta de operador $K$. En particular, esto hace posible que el espectro continuo consistir sólo en puntos. Al mismo tiempo, los autovalores de a $K$ ya ocupar la totalidad del espacio de Hilbert $\mathcal{H}$, por lo que no hay necesidad de tener $0$ ser una parte real del espectro. Además, como usted dice, tal vez usted quiere algo como "espectro continuo es administrado por un continuo de parte de la línea real". Para esto, se debe excluir que algunos de los valores del espectro continuo.

Esto se puede hacer de una manera sistemática, por definición, el espectral medida del espacio de Hilbert operador y considerar el Radon-Nikodym de la descomposición de la medida con respecto a la medida de Lebesgue en un puro punto parte, absolutamente continuas parte y un singular continuo de parte:

Teorema: Vamos a $A$ ser un auto-adjunto del operador en un espacio de Hilbert separable. Deje $\mu$ ser el espectral medida definidos por $A$, $\mu$ puede ser descompuesto en un puro punto de par $\mu_{pp}$ que consta de todos los autovalores de a $A$, absolutamente continua parte $\mu_{ac}$ (lo cual es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue) y una singular continuo de parte $\mu_{sc}$ ("resto").

El apoyo de $\mu_{pp}$ (cuando sea distinto de cero), entonces los autovalores $\sigma_{pp}(A)$, el apoyo de $\mu_{ac}$ se llama absolutamente espectro continuo $\sigma_{ac}(A)$, y del mismo modo tenemos $\sigma_{sc}$. Entonces

$$ \sigma(A)=\sigma_{ac}(A)\cup \sigma_{sc}(A)\cup \overline{\sigma}_{pp} $$

donde el overline denota el cierre. Aquí está la parte interesante: Una medida que es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue no puede tener contables de apoyo, tales como los conjuntos de medida cero. En otras palabras: Por el absolutamente (y creo que también por la singular continua) espectro, el espectro siempre consiste en una cantidad no numerable de puntos.

Además, se puede definir un espacio de Hilbert $\mathcal{H}_{pp}$ que consta de todos los vectores propios, y de Hilbert spaes $\mathcal{H}_{ac}$ $\mathcal{H}_{sc}$ que consta de todos "aproximado funciones propias" de la absoluta y singular, el espectro continuo y esos tres espacios agregar:

$$ \mathcal{H}=\mathcal{H}_{pp}\oplus \mathcal{H}_{ac}\oplus \mathcal{H}_{sc}$$.

En este sentido, este es también el "derecho" de descomposición.

Para nuestro operador $K$ entonces, uno puede ver fácilmente que el continuo partes del espectro están vacías, sólo pura punto de espectro - exactamente como queremos.

Sin embargo, nótese que los tres espectros no necesita ser disjuntas. Usted puede tener espectro continuo y algunos autovalores mentira incrustado en el espectro continuo.

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Por último, vamos a hacer un poco de física (al menos casi). Hay un hermoso teorema, que dice que el último de la descomposición es el más adecuado para la física. Es llamado el teorema de RABIA (véase, por ejemplo, el Teorema 5.7 en Garald Teschl del libro "Métodos Matemáticos de la Mecánica Cuántica") y que básicamente te dice que si usted considera que algunos Hamiltonina $H$, el puro punto de parte del espectro de las formas de la envolvente de los estados de la opererator en que las partículas son eternamente confinado dentro de una región. Por otro lado, el absolutamente continua de parte de los formularios de la acotada establece que escapar y no volver nunca (singularmente continua parte es complicado, generalmente se intenta mostrar que no existe, pero puede ser interpretado como unbounded estados que tipo de fuga en el infinito, pero hasta entonces volver a donde comenzó una y otra vez).